symmetrische und schiefsymmetrische Bilinearform auf V mit b Ε Bild(V)

Question

Meine Kommilitonen und ich wissen nicht, wie wir folgende Aufgaben angehen sollen. Wir brauchen es in unserer Hausaufgabe, um weiter zu machen.

Vielleicht hat jemand Lösungsansätze/Lösungen, die uns weiterhelfen...

Text erkannt:

3. Aufgabe Es sei \( V \) ein endlich dimensionaler \( \mathbb{R} \)-Vektorraum und \( b \in B i l(V) \) eine Bilinearform.
1. Zeigen Sie, dass die einzige symmetrische und schiefsymmetrische Bilinearform auf \( V \) durch \( \Phi: V \times V \rightarrow \mathbb{R},(v, w) \mapsto 0 \) gegeben ist.
2. Zeigen Sie, dass die Abbildung \( \Phi, V \times V \rightarrow \mathbb{R} ;(v, w) \mapsto \frac{1}{2}(b(v, w)+b(w, v)) \) eine symmetrische Bilinearform auf \( V \) definiert.
"Abgabe der Loosungen bis 19.06.22, 23.59 Uhr auf Olat

Text erkannt:

3. Zeigen Sie die Existenz von eindeutig bestimmten Bilinearformen \( b_{s}, b_{a} \in \operatorname{Bil}(V \) mit \( b_{s} \) symmetrisch, \( b_{a} \) alternierend (= schiefsymmetrisch) und \( b=b_{s}+b_{a} \).

Answer 1

ad 1)Sei \(\Phi(v,w)=a \neq 0 \)

Dann ist \(\Phi(v,w)+\Phi(w,v)=2a\) wegen der Symmetrie

aber auch \(\Phi(v,w)+\Phi(w,v)=0\) wegen der schiefen Symmetrie

ad 2) \(\Phi_L(v,w)=(\frac{1}{2}b(v,w)+b(w,v))=(\frac{1}{2}b(vw,v)+b(v,w))=\Phi_L(w,v)  \)

Comments

Vielen Dank, hast du zufällig auch Ideen für Nummer 2 und 3?