symmetrische und schiefsymmetrische Bilinearform auf V mit b Ε Bild(V)

Question

Meine Kommilitonen und ich wissen nicht, wie wir folgende Aufgaben angehen sollen. Wir brauchen es in unserer Hausaufgabe, um weiter zu machen.

Vielleicht hat jemand Lösungsansätze/Lösungen, die uns weiterhelfen...

Text erkannt:

3. Aufgabe Es sei $V$ ein endlich dimensionaler $\mathbb{R}$-Vektorraum und $b \in B i l(V)$ eine Bilinearform.
1. Zeigen Sie, dass die einzige symmetrische und schiefsymmetrische Bilinearform auf $V$ durch $\Phi: V \times V \rightarrow \mathbb{R},(v, w) \mapsto 0$ gegeben ist.
2. Zeigen Sie, dass die Abbildung $\Phi, V \times V \rightarrow \mathbb{R} ;(v, w) \mapsto \frac{1}{2}(b(v, w)+b(w, v))$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$ definiert.
"Abgabe der Loosungen bis 19.06.22, 23.59 Uhr auf Olat

Text erkannt:

3. Zeigen Sie die Existenz von eindeutig bestimmten Bilinearformen $b_{s}, b_{a} \in \operatorname{Bil}(V$ mit $b_{s}$ symmetrisch, $b_{a}$ alternierend (= schiefsymmetrisch) und $b=b_{s}+b_{a}$.

Answer 1

ad 1)Sei $\Phi(v,w)=a \neq 0$

Dann ist $\Phi(v,w)+\Phi(w,v)=2a$ wegen der Symmetrie

aber auch $\Phi(v,w)+\Phi(w,v)=0$ wegen der schiefen Symmetrie

ad 2) $\Phi_L(v,w)=(\frac{1}{2}b(v,w)+b(w,v))=(\frac{1}{2}b(vw,v)+b(v,w))=\Phi_L(w,v)$

Comments

Vielen Dank, hast du zufällig auch Ideen für Nummer 2 und 3?