schiefsymmetrische Bilinearform

Question

Sei K ein Körper mit 1+1≠0 und V ein K-Vektorraum. Eine Bilinearform b: VxV → K heißt schiefsymmetrisch, wenn wir alle v ∈ V gilt b(v,v)=0. Eine Matrix A ∈ M(nun, K) heißt schiefsymmetrisch, wenn ^tA = -A

Man zeige: Eine Bilinearform auf V ist schiefsymmetrisch, genau dann wenn für alle v,v' ∈V gilt b(v,v')=-b(v',v)

Ich habe absolut keine Ahnung, wie ich da ran gehen soll

Comments

kann sich das vielleicht nochmal jemand angucken ?

Answer 1

  In AGULA bin ich absolut stark; da biste bei mir genau richtig. Zunächst mal sollte man einen Begriff wählen; eine Bilinearform mit



       b  (  u  ;  v  )  =  -  b  (  v  ;  u  )         (  1  )



     möge antimetrisch heißen. Und da erhebt sich nämlich schon das Problem; denn für Zahlenkörper der ===> Charakteristik ( Wenn du das nicht kennen solltest; kümmer dich sofort, was das ist ) Charakteristik p = 2 ist ja




         (  +  1  )  =  (  -  1  )        (  2  )


  
      In diesem Sonderfall würde Definition ( 1 ) also nichts weiter bedeuten als symmetrische Bilinearform; und für unsere Zwecke ist das eindeutig zu wenig ( Eine Vorzeichenumkehr existiert nicht. ) Wir zeigen




        antimetrisch  <===>  schief symmetrisch       (  3  )



    Die triviale Richtung ;  "  ===>  "


    Setze in ( 1 )  :  u  =  v



    Den " Gegenverkehr "  "  <===  "  bewältigen wir genau wie beim Kreuzprodukt. Hattest du je Kreuzprodukt , bzw. kannst du dich erinnern?
  Aus der Schiefsymmetrie folgt für z := u + v



       
                 b  (  u  +  v  ;  u  +  v  )  =  0      (  4a  )


   
     So ganz aus der Luft gegriffen ist ( 4a ) ja wohl nicht; wie gesagt, AGULA hab ich gern gemacht - Algebra überhaupt. Weil da musst du nicht ständig unmotivierte Ungleichungen aus dem Hut zaubern, die dir aus der Bredouille helfen. Wo will ich hin? Ich will eine Aussage über zwei Vektoren u und v ; und ganz offensichtlich muss ich Bilinearität ausnutzen.




                              b ( u ; u )           + b ( u ; v ) + b ( v ; u ) +         b ( v ; v ) 
      (  4a  )  =        ----------------                                                     ----------------          =       (  4b  )
                                    0                                                                       0



               =  b  (  u  ;  v  )  +  b  (  v  ;  u  )  =  0      (  4c  )