Höhenwachstum - Blumen

Question

Eine Großgärtnerei vergleicht das Höhenwachstum zweier Kaiserkronensorten während der Blütezeit. Blume 1 wächst nach dem Gesetz h1(t) = 10 mal e^0,1t , Blume 2 nach dem Gesetz h2(t) = 50-40 mal e^-0,1t (t in Tagen, h in cm)

b) Wann erreichen die Blumen 20 cm Höhe?

c) Wann wächst Blume 2 mit der Rate 1cm/Tag?

d) Wann ist die Höhendifferenz während der ersten 10 Tage maximal?

e) Wann sind die Blumen gleich hoch?

Bei b) habe ich 6,93 Tage und 2,87 Tage, bei c) 13,8 Tage. Sind die Ergebnisse richtig? Und bei d) und e) weiß ich leider überhaupt nicht, was ich machen soll. Bitte mit Lösungsweg.

Comments

10 mal e^0,1t , Blume 2 nach dem Gesetz h2(t) = 50-40 mal e^-0,1t

~plot~ 10*e^{0,1*x};50-40*e^{-0,1*x} ; [[ 0 | 20 | 0 | 60 ]] ~plot~

Answer 1

b)

h1(t) = 10·e^{0.1·t} = 20 --> t = 6.931 Tage

h2(t) = 50 - 40·e^{- 0.1·t} = 20 --> t = 2.877 Tage

c)

h2(t) = 50 - 40·e^{- 0.1·t}

h2'(t) = 4·^{- 0.1·t} = 1 --> t = 13.86 Tage

d)

d(t) = (50 - 40·e^{- 0.1·t}) - (10·e^{0.1·t}) = - 10·e^{0.1·t} - 40·e^{- 0.1·t} + 50

d'(t) = 4·e^{- 0.1·t} - e^{0.1·t} = 0 --> t = 6.931 Tage

e)

10·e^{0.1·t} = 50 - 40·e^{- 0.1·t} --> t = 0 Tage ; t = 13.86 Tage

Comments

Vielen Dank! Mich würde interessieren, wie du bei e) auf 13.86 Tage kommst. Magst du helfen?

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Wie komme ich bei b) für h2(t) auf das Ergebnis t=2,877 Tage?

Für h1(t) habe ich es geschafft, jedoch nicht für h2(t)

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Wie kamst du bei e) auf t=13,86 Tage?

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50 - 40·e^(- 0.1·t) = 20

50 - 20 = 40·e^(- 0.1·t)

(50 - 20)/40 = e^(- 0.1·t)

LN((50 - 20)/40) = - 0.1·t

-10 * LN((50 - 20)/40) = t

t = -10 * LN((50 - 20)/40)

Schnapp dir also einfach die Angegebene Gleichung und löse sie nach t auf.

Ich sehe gerade das oben an einer Stelle ein e fehlt. Aber das hast du sicher auch schon bemerkt gehabt.

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e)

10·e^(0.1·t) = 50 - 40·e^(- 0.1·t)

Subst z = e^(0.1·t) bzw. t = 10·LN(z)

10·z = 50 - 40/z

mal z

10·z^2 = 50·z - 40

10·z^2 - 50·z + 40 = 0

z^2 - 5·z + 4 = 0

(z - 1)·(z - 4) = 0

z = 1 --> t = 10·LN(1) = 0 Tage

z = 4 → t = 10·LN(4) = 13.86 Tage

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Die zweite Antwort mit der Substitution habe ich verstanden! Bei der vorherigen Antwort stellt sich mir aber leider noch die Frage wie man von

50-40^e*(0,1t)=20

auf die nächste Zeile

50-20=40*e^-0,1t)

kommt. Das erschließt sich mir nicht :(

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Bei der vorherigen Antwort stellt sich mir aber leider noch die Frage wie man von
50-40e*(0,1t)=20
auf die nächste Zeile
50-20=40*e^-0,1t)
kommt. Das erschließt sich mir nicht :(

50 - 40·e^(- 0.1·t) = 20

Addiere auf beiden Seiten 40·e^(- 0.1·t)

Subtrahiere auf beiden Seiten 20