Höhenwachstum zweier Blumen: Wann sind die Blumen gleich hoch?

Question

Eine Großgärtnerei vergleicht das Höhenwachstum zweier Kaiserkronensorten während der Blütezeit. Blume 1 wächst nach dem Gesetz h1(t) = 10* e^{0,1t} , Blume 2 nach dem Gesetz h2(t) = 50-40*e^{-0,1t}.

Aufgaben : d.) Wann ist die Höhendifferenz während der ersten 10 Tage maximal?

                     e.) Wann sind die Blumen gleich hoch?

Answer 1

d(t) = h2(t) - h1(t) = 50 - 40·EXP(- 0.1·t) - 10·EXP(0.1·t) = - 10·e^{t/10} - 40·e^{- t/10} + 50

d.) Wann ist die Höhendifferenz während der ersten 10 Tage maximal?

d'(t) = 4·e^{- t/10} - e^{t/10} = 0

Subst. z = e^{t/10}

4/z - z = 0

4 - z^2 = 0

z = ± 2

e^{t/10} = 2

t = 10·LN(2) = 6.931471805

e.) Wann sind die Blumen gleich hoch?

d(t) = 0

- 10·e^{t/10} - 40·e^{- t/10} + 50 = 0

Subst. z = e^{t/10}

- 10·z - 40/z + 50 = 0

- 10·z^2 - 40 + 50·z = 0

z = 4 ∨ z = 1

e^{t/10} = 4

t = 20·LN(2) = 13.86294361