Aloha :)
Wir suchen eine Funktion$$f(x)=a\cdot e^{b(x-1800)}\quad;\quad x\ge1800$$Auf beiden Seiten nehmen wir den natürlichen Logarithmus:$$\ln f(x)=\ln(a\cdot e^{b(x-1800)})=\ln(a)+b\cdot (x-1800)$$und setzen die Messwerte \((x|y)\) aus der Tabelle und erhalten folgendes Gleichungssystem:
$$\left(\begin{array}{rr}1 & 0\\1 & 10\\1 & 20\\1 & 30\\1 & 40\\1 & 50\\1 & 60\\1 & 70\\1 & 80\\1 & 90\end{array}\right)\cdot\binom{\ln(a)}{b}=\left(\begin{array}{r}1,667706821 \\ 1,974081026 \\ 2,261763098 \\ 2,557227311 \\ 2,839078464 \\ 3,144152279 \\ 3,446807893 \\ 3,653252276 \\ 3,916015027 \\ 4,143134726 \end{array}\right)$$Wir multiplizieren beide Seiten des Gleichungssystems von links mit der transponierten Koeffizientenmatrix$$\left(\begin{array}{rr}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\0 & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60 & 70 & 80 & 90\end{array}\right)$$und erhalten die Normalengleichung$$\left(\begin{array}{rr}10 & 450\\450 & 28\,500\end{array}\right)\cdot\binom{\ln(a)}{b}=\left(\begin{array}{r}29,60321892\\1561,163104\end{array}\right)$$mit der Lösung:$$\binom{\ln(a)}{b}=\binom{1,71113142}{0,02775979}$$Mit \(a=e^{\ln(a)}\approx5,5352\) erhalten wir als angepasste Kurve:$$\boxed{f(x)=5,535221\cdot e^{0,027760\cdot(x-1800)}}$$
~plot~ 5,535221*exp(0,027760*(x-1800)) ; {1800|5,3} ; {1810|7,2} ; {1820|9,6} ; {1830|12,9} ; {1840|17,1} ; {1850|23,2} ; {1860|31,4} ; {1870|38,6} ; {1880|50,2} ; {1890|63} ; [[1790|1900|0|70]] ~plot~
Die prozentuale relative Wachstumsrate betrug \(b\approx2,7760\%\).
Die Verdopplungszeit betrug \(T_2=\frac{\ln(2)}{b}\approx24,97\,\mathrm{Jahre}\).
Laut den Daten aus dem 19. Jahrhundert müsste der Wert von \(1950\) bei \(f(1950)=356,1\) liegen, was zum tatsächlichen Wert \(151,3\) nicht passt.
