Abitur-Aufgabe zu e-Funktion. Wachstum von Bienensorten.

Question

Die Funktion b mit b(t ) = 60 − 54 ⋅ e−0,25t beschreibt für 0 ≤ t ≤ 12 näherungsweise die
Anzahl der Bienen in einem Bienenvolk im Zeitraum von April bis Juni. Dabei ist t die Zeit
seit Beobachtungsbeginn in Wochen und b(t ) die Anzahl der Bienen in Tausend.

a) Ermitteln Sie die Bienenanzahl zu Beobachtungsbeginn, nach 4 Wochen und nach
12 Wochen.
Begründen Sie, dass die Funktion b für t → ∞ einen Grenzwert hat. Geben Sie diesen
Grenzwert an.
Skizzieren Sie den Graphen von b für 0 ≤ t ≤ 12 mit Hilfe der ermittelten Werte im
Koordinatensystem in der Anlage.

b) Vom Imkerverband wird eine neue Bienensorte empfohlen, bei der der Bienenbestand
f (t ) besonders schnell wächst ( t in Wochen und f (t ) in Tausend).
Die Wachstumsgeschwindigkeit (gemessen in 1000 Bienen pro Woche) wird durch die
Funktion v mit v(t ) = f ′(t ) = 3 ⋅ e0,25t angegeben.
Ermitteln Sie für beide Bienensorten die Wachstumsgeschwindigkeiten zu Beobachtungsbeginn
und nach 6 Wochen.
Vergleichen Sie das Wachstum des Bienenbestands bei beiden Sorten.

c) Ein Bienenvolk der neuen Sorte hat zu Beobachtungsbeginn 2000 Bienen.
Ermitteln Sie die Gleichung der Funktion f , die die Entwicklung des Bienenbestands
beschreibt. [Zur Kontrolle: f (t ) = 12 ⋅ e0,25t −10 ]
Zeichnen Sie den Graphen von f für 0 ≤ t ≤ 8 mit Hilfe von drei geeigneten
Wertepaaren in das Koordinatensystem von Aufgabenteil a) ein.

d) Die Funktion d mit d(t ) = b(t ) − f (t ) beschreibt den Unterschied des Bienenbestands
zwischen der alten und der neuen Sorte.
Ermitteln Sie den Zeitpunkt t , bei dem der Unterschied in den ersten 6 Wochen am
größten ist.
Für die Berechnung von t genügt die Verwendung der notwendigen Bedingung.

e) Weisen Sie nach, dass zum Zeitpunkt t , bei dem der Unterschied bei der alten und der
neuen Bienensorte am größten ist, die momentanen Wachstumsgeschwindigkeiten bei
beiden Sorten gleich sind. Für diesen Nachweis sollen die Wachstumsgeschwindigkeiten nicht konkret berechnet werden.

Ich habe bereits zwei Aufgaben aus den Mathe Abitur gelöst  nun komme ich nicht weiter mit den Aufgaben ( c,d,e) 

Aufgaben :  Aufgabe 1.1 ; Seite 2

http://bildungsserver.berlin-brandenburg.de/fileadmin/bbb/unterricht/pruefungen/abitur_bb/Zabi_Mathematik/BE_15_Ma_GK_Aufgaben.pdf

Hier meine Ansätze und Lösungen zu den vorherigen Aufgaben :

a)     b(t) = 60-54*e^-0.25*t   

b(0) = 6

b( 4 ) = 40,1

b(12) = 57,31

Die Funktion b hat einen Grenzwert denn ich habe mit dem Annäherungsprozess fast das gleiche Ergebnis erhalten wie für t=12

Der Grenzwert liegt bei ca. 60

Rechnung :  b( 11) = 56,5 ;  b (11,5) = 56,95 ;  b( 11,9) = 57,24  ; b(200) = 60

b)      v(t)= f´(t)=3*e^0,25*t                         b(0) = 3  ; b(6) = 13,4

          b(t)= 60-54*e^-0,25*t                       b(0)= 6  ; b(6)= 47,9

Antwort: Bei der alten Bienensorte vermehren sich die Bienen am Anfang sehr schnell. Je mehr Bienen es sind, desto langsamer vermehren sie sich dann. Bei der neuen Bienensorte vermehren sie sich am Anfang langsamer , aber umso mehr Bienen es werden umso schneller vermehren sie sich .

Answer 1

a.)
Die ersten 3 Ergebnisse sind richtig. Aber
lim t −>∞ [ 60 - 54 * e^{-0.25*t} ]
e^{-0.25*∞} = e^{-∞} = 0
lim x −>∞ [ 60 - 54 * 0 ]  = 60

Geht noch weiter.

~plot~ 60-54*e^{-0,25*x} ; [[ 0 | 40 | 0 | 70 ]] ~plot~

Comments

b.)
Deine Antwort
  v(t)= f´(t)=3*e^0,25*t                         b(0) = 3  ; b(6) = 13,4

  b(t)= 60-54*e^-0,25*t                       b(0)= 6  ; b(6)= 47,9

stimmt so nicht

v(t)= f´(t)=3*e^0,25*t                         f ´ (0) = 3  ; f ´ (6) = 13,4

und jetzt vergleichen mit der Wachstumsgeschwindigkeit von b

b'(t) = 13.5·e^{- 0.25·t}                           b ´( 0 ) = 13.5 ; b ´( 6 )  = 3.01

---

c.) siehe Antwort mathecoach

f(t) = 12·e^0.25·t - 10

~plot~ 60-54*e^{-0,25*x};  12 * e^{0.25*x} - 10 ; [[0|40|0|70]] ~plot~

---

Da ich nicht besonders gut bin in lim funktion wäre ich sehr dankbar
wenn du mir die Rechnung ausführlicher aufschreibst .

lim (t → ∞) 60 - 54·e^{- 0.25·t} = 60 --> 60000 Bienen

Steht eigentlich schon oben

lim t −>∞ [ 60 - 54 * e^-0.25*t ]

-0.025 * unendlich ist ( minus unendlich )
e hoch ( minus unendlich ) = 0

e^-0.25*∞ = e^-∞ = 0
lim x −>∞ [ 60 - 54 * 0 ]  = 60

Tip : die e-Funktion sollte man immer " vor Augen " haben.
Geht nach links gegen 0

~plot~ e^x ~plot~

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Danke sehr dachte das wäre hier kompliziert aber ich erinnere mich :)

Vielen Dank für deine Antwort und Mühe

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Schön das dir weitergeholfen werden konnte.
Dazu ist das Forum ja da.

Falls in dieser Frage noch etwas unklar ist oder du andere / weitere
Fragen hast dann wieder melden.

Answer 2

2015 - Analysis Grundlegend - Bienen

b(t) = 60 - 54·e^{- 0.25·t} ; 0 ≤ t ≤ 12 ; mit t in Wochen und b(t) in 1000 Bienen.

a)

b(0) = 6 --> 6000 Bienen

b(4) = 40.13 --> 40130 Bienen

b(12) = 57.31 --> 57310 Bienen

lim (t → ∞) 60 - 54·e^{- 0.25·t} = 60 --> 60000 Bienen

b)

v(t) = f'(t) = 3·e^{0.25·t}

b'(t) = 13.5·e^{- 0.25·t}

f'(0) = 3 --> 3000 Bienen / Woche

b'(0) = 13.5 --> 13500 Bienen / Woche

f'(6) = 13.45 --> 13450 Bienen / Woche

b'(6) = 3.012 ---> 3012 Bienen / Woche

b ist ein beschränktes exp. Wachstum mit einer abnehmenden Wachstumsgeschwindigkeit.

f ist ein unbeschränktes exp. Wachstum mit steigender Wachstumsgeschwindigkeit.

c)

f'(t) = 3·e^{0.25·t}

f(t) = 3·e^{0.25·t} / (0.25) + C = 12·e^{0.25·t} + C

f(0) = 12 + C = 2 --> C = -10

f(t) = 12·e^{0.25·t} - 10

d)

d(t) = (60 - 54·e^{- 0.25·t}) - (12·e^{0.25·t} - 10) = - 12·e^{0.25·t} - 54·e^{- 0.25·t} + 70

d'(t) = 13.5·e^{- 0.25·t} - 3·e^{0.25·t} = 0

13.5·e^{- 0.25·t} - 3·e^{0.25·t} = 0

13.5·e^{- 0.25·t} = 3·e^{0.25·t}
13.5/3 = e^{0.5·t}

0.5·t = ln(13.5/3)

t = 2·ln(13.5/3) = 3.008 Wochen

e)

b'(t) = f'(t)

13.5·e^{- 0.25·t} = 3·e^{0.25·t}

Diese Bedingung wurde ja schon in d) berechnet und führte auf die gewünschte Lösung.

Comments

Hallo

Zuerst möchte ich mich bei euch beiden bedanken für eure hilfreiche Antworten auf die Aufgaben

Nur habe ich ein Problem bei a) ich habe über die Annäherungsmetheode versucht den Grenzwert festzulegen.

Da ich nicht besonders gut bin in lim funktion wäre ich sehr dankbar wenn du mir die Rechnung ausführlicher aufschreibst .

lim (t → ∞) 60 - 54·e^{- 0.25·t} = 60 --> 60000 Bienen

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wenn du für t unendlich einsetzt geht der exponent gegen minus unendlich. e^{- ∞} ist aber als Grenzwert 0. d.h. als Grenzwert hast du 60 - 54 * 0 = 60.