Betragsgleichungen mit Bsp. |-x + 3| - 2 = - 2*|2x| + 5.5

Question

Hallo bei

Hallo bei Betragsgleichungen mit bsp.

 |-x + 3| - 2 = - 2*|2x| + 5.5 

muss ich erst die Beträge zusammenziehen, oder eine 4 fache Fallunterscheidung machen ?

Comments

 Danke schonmal für die Antworten ich werde es jetzt mal versuchen nachzuvollziehen, hier sind auch mal die lösungen als Hilfe.

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Wenn du dich an Verschiebungen und Stauchungen von Parabeln erinnern kannst, ist eine Skizze eigentlich auch von Hand keine Hexerei. Dann weisst du sofort, wo du die Lösungen zu suchen hast ,und kannst dir einen der Fälle auch noch sparen. 

~plot~ abs(-x + 3) - 2 ; - 2*abs(2x) + 5.5 ~plot~

Answer 1

| -x + 3 | -2 = -2 * | 2x | + 5.5

Wichtig ist wann die Betragsfunktion 0 ist.

Für über oder unter null ( positiv oder negativ ) bedeutet die Betragsfunktion

term > 0 : | term |  = term
term < 0 : | term | = term * (-1)

Mit folgender Vorgehensweise bleibt die Übersicht erhalten

- Nullpunkt der Betragsfunktion feststellen

Hier -x + 3 = 0  => x = 3
2x = 0  => x = 0

- auf einem Zahlenstrahl werden die Werte eingetragen

- es ergeben sich 3 Bereiche die getrennt untersucht werden müssen.

x < 0
0 < x < 3
x > 3

Ich male das einmal auf bzw. löse dann auch die Gleichung.

Comments

danke ich versteh das soweit, aber sobald ich dann versuche selber die gleichung zu lösen weiss ich nicht wie ich die formel einsetze für x<0 zb oder 0<x<3

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Hier die Berechnungen



x = -0.9  und x = 1.5

blau : linke Seite der Gleichung
rot : rechte Seite
~plot~ abs(-x+3)-2; -2*abs(2x)+5,5 ~plot~

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soweit so gut, kannst du mir noch sagen wie du bei der Fallunterscheidung festmachst das

zb bei 1

mit x<0

-x+1 Positiv

2x Negativ

ist ?

Weil x<0 = (-)

und - - x+1

        - 2x  

?

Müsste es dann nicht auch x+3-2=... sein  ? (bei abschnitt 1  )

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So

habe es wirklich sonst verstanden Nur die eine Frage von oben bleibt.

Vielen dank für die Hilfe soweit :)

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1.Fall : für x < 0 gilt

-x + 3  ist  positiv
Beispiele durch einsetzen
-(-1) + 3 = 4
-(-2) + 3 = 5

Da -x + 3 > 0 ist gilt für | -x + 3 | = ( -x + 3 )

2x ist negativ
Beispiele
2*(-1) = -2
2 *(-2) = -4

Da 2x negativ  ist gilt für | 2x | = 2x * (-1)

| -x + 3 | -2 = -2 * | 2x | + 5.5
wird im 1.Fall zu
( -x + 3 ) -2 = -2 * ( 2x ) * (-1) + 5.5

Answer 2

Von allen reellen Zahlen, sind x= 0 und x= 3 relevant für eine Änderung der Berechnung des Betrags.

Daher genügen die folgenden 3 Fälle:

x≤ 0, 0≤ x≤  3 und  3 < x. 

Kontrolliere zum Schluss damit: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7C-x+%2B+3%7C+-+2+%3D+-+2*%7C2x%7C+%2B+5.5 oder mit einem andern Plotter, bei dem der Verlauf der Graphen für x>3 noch sichtbar ist.