Wie löst man Aufgaben zu Betragsgleichungen? Bsp. |x + 2| = 2·x - 5

Question

Ich habe hier zwei Aufgaben zur Übung notiert. Als das Prinzip des Rechenwegs besprochen wurde, bin ich nicht vollständig mitgekommen.

Ich weiß was der Betrag einer Zahl ist ( sgn(x)*x ) und ich kenne die Rechenregeln. Aber was kann ich unter einer Betragsgleichung verstehen? Was hat das "...=> L {\displaystyle L} ={7}" bzw. das "...=>  L {\displaystyle L} ={-3-√7; -3+√7}", also diese Angabe einer Lösungsmenge zum Zweck und ja, wie kann ich die Aufgabe verstehen? Was hat man gegeben, was ist gesucht und wie rechnet man zu der Lösung/ den Lösungen?
L {\displays

Answer 1

|x + 2| = 2·x - 5

Fall 1: x ≤ -2

-(x + 2) = 2·x - 5
-x - 2 = 2·x - 5
-3·x = - 3
x = 1 --> Liegt nicht im Fallbereich

Fall 2: x ≥ -2

(x + 2) = 2·x - 5
x + 2 = 2·x - 5
-x =  - 7
x = 7 --> Liegt im Fallbereich

L = {7}

Comments

danke bin gerade auch selbst drauf gekommen durch Lesen einer ähnlichen Frage auf mathelounge. Womit ichjetzt noch ein Problem habe: Lösungsmenge bedeutet doch die Menge (also die Anzahl) an Lösungen. L={7} bedeutet doch dann dass 7 verschiedene Lösungen für x herauskommen müssen oder nicht?

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- 3 / |x + 1| = x + 5

- 3 = (x + 5)*|x + 1|

Fall 1: x < -1

- 3 = (x + 5)*(-x - 1)
- 3 = - x^2 - 6·x - 5
x^2 + 6·x + 2 = 0
x = -3 ± √7 --> Nur -3 - √7 im Fallbereich

Fall 2: x > -1

- 3 = (x + 5)*(x + 1)
- 3 = - x^2 + 6·x + 5
x^2 + 6·x + 8 = 0
x = -4 ∨ x = -2 --> Nicht im Fallbereich

L = {-3 - √7}

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In der Lösungsmenge L werden alle Lösungen zusammengefasst.

L = {7} bedeutet das nur die Zahl 7 die Gleichung löst.

Wie hättest du denn L = {-3 - √7} = {-5.646} gedeutet ? Das -5.646 Zahlen von x die Gleichung lösen? Das macht natürlich keinen Sinn oder?

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Ja, stimmt natürlich. Manchmal ist es einfacher als man denkt.

Bezüglich der zweiten Aufgabe. Auch hier habe ich das gleiche Ergebnis heraus bekommen, allerdings habe ich bei x^2+6x+2=0 auch den GTR benutzt. Ich bin mir nicht sicher ob ich x auch ohne GTR in der Lage sein sollte herauszubekommen. Ist das überhaupt Möglich? Und was meinst du mit "x = -3 ± √7 --> Nur -3 - √7 im Fallbereich" in der Lösungsmenge sind doch beide Lösungen angegeben?

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In deiner Lösungsmenge sind beide angegeben. Allerdings nur weil sie verkehrt ist.

-3 + √7 = -0.3542 und das ist nicht < -1 also zählt das nicht.

Quadratische Gleichungen kannst du auch ohne GTR mit der pq-Formel ausrechnen.

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Achso, deshalb der Hinweis D=R\{-1}. Vielen dank!

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D = R\{-1}

bedeutet das man für x nicht -1 einsetzen darf, weil man dann durch 0 teilen würde und das nicht erlaubt ist. Daher muss man die -1 aus dem Definitionsbereich herausnehmen.

Mit der Lösung hat das in diesem Fall aber nichts zu tun.

-3 + √7 = -0.3542 ist ja nicht gleich -1

Du darfst also -3 + √7 für x einsetzen. Das ist erlaubt. Allerdings gibt es dann eine Aussage die nicht wahr ist, und daher ist -3 + √7 kein Wert der Lösungsmenge.

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Was ich aber noch fragen muss, wie lese ich aus D=R\{-1} heraus dass x < -1 sein muss? Ich hätte das eher als "Definitionsmenge gleich alle Reellen Zahlen ohne -1" interpretiert.

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Das x < -1 sein muss entnehmen wir dem Fallbereich

Fall 1: x < -1

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Das Argument ist nur auf das x bezogen, und nicht auf den Term. Das war mein Fehler.

Answer 2

Weg mit Quadrieren:

Aufgabe 1:

\(|x+2|=2x-5\)

\(\sqrt{(x+2)^{2}}=2x-5 |^{2}\)

\((x+2)^{2}=(2x-5)^{2}\)

\((x+2)^{2}-(2x-5)^{2}=0\)     3.Binom:

\([(x+2)+(2x-5)]\cdot [(x+2)-(2x-5)]=0\) 

\([3x-3]\cdot [-x+7]=0\)   Satz vom Nullprodukt:

1.)

\(3x-3=0\)

\(x_1=1\)  Probe, weil Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist:

\(3=2-5\) Stimmt nicht

2.)

 \(x_2=7\)

\(9=9\)  ✓

Aufgabe 2:

\( \frac{-3}{|x+1|}=x+5|^{2} \)    mit \(x≠-1\)

\( \frac{9}{(x+1)^{2}}=(x+5) ^2 \)

\( 9=(x+5) ^{2}(x+1)^{2} \)

\((x^{2}+6x+5)^{2}=9 |±\sqrt{~~} \)

1.)

\(x^{2}+6x+5=3 \)

\(x^{2}+6x=-2 \)

\(x_1=\sqrt{7}-3 \)

\(x_2=-\sqrt{7}-3 \)

2.)

\(x^{2}+6x+5=-3 \)

\(x^{2}+6x=-8 \)

\(x_3=-4\)

\(x_4=-2\)

Auch hier wieder die Proben!

Comments

Was ist denn hier schiefgelaufen?

1.)

\(x^{2}+6x+5=3 \)

\(x^{2}+6x=-2 \)

\(x_1=\sqrt{7}-3 \)

\(x_2=-\sqrt{7}-3 \)

2.)

\(x^{2}+6x+5=-3 \)

\(x^{2}+6x=-8 \)

\(x_3=-4\)

\(x_4=-2\)

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Was ist denn hier schiefgelaufen?

Sag du es uns. Oder meinst du das die quadratische Gleichung nicht wie in der pq-Formel nach 0 aufgelöst wurde?

x^2 + px + q = 0 statt x^2 + px = -q

Einen Fehler sehe ich sonst nicht.

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Oder meinst du das die quadratische Gleichung nicht wie in der pq-Formel

Das meine ich garantiert nicht. Es ist ein Beitrag von M.!

Dass er Beiträge nicht mit dem vorrangigen Ziel der Hilfe für den Fragesteller schreibt ist ja wohl schon Allgemeingut. Aber dass er hier nicht die Gelegenheit nutzt, die quadratische Ergänzung als seinen zentralen Lebensinhalt zu pushen, irritiert mich sehr.

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Aber dass er hier nicht die Gelegenheit nutzt, die quadratische Ergänzung als seinen zentralen Lebensinhalt zu pushen, irritiert mich sehr.

Sorry mein Fehler. Wie konnte ich nur annehmen, du möchtest dich sachlich äußern und einen Fehler anmerken.

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Sorry mein Fehler.

Gräme dich nicht. Das kann jedem mal passieren.