Aloha :)
Da sich die \(e\)-Funktion und die Logarithmusfunktion gegenseitig kompensieren, kannst du Potenzen mit Hilfe der Exponentialfunktion schreiben:$$a^x=e^{\ln(a^x)}=e^{x\cdot\ln(a)}\quad;\quad a>0$$
Die Musterlösung und du, ihr habt also beide Recht:$$0,5\cdot e^{\ln(2)\cdot t}=0,5\cdot2^t=2^{t-1}$$
Mit anderen Worten, ob du eine Exponentialfunktion oder eine Potenz verwendest, ist Geschmacksache.