Ansatz expotentielles Wachstum mit e

Question

Frage:

Gibt es eine Regel nach der man bei einer Aufgabe mit exponentiellen Wachstum entweder e verwendet oder nicht? Die Anfangswerte der Aufgabe waren x=0 y=0,5 sowie x=1 und y=1. Meine Lösung war die Funktion 0,5*e^ln(2)*t und in den Lösungen stand 2^t-1

Answer 1

Aloha :)

Da sich die \(e\)-Funktion und die Logarithmusfunktion gegenseitig kompensieren, kannst du Potenzen mit Hilfe der Exponentialfunktion schreiben:$$a^x=e^{\ln(a^x)}=e^{x\cdot\ln(a)}\quad;\quad a>0$$

Die Musterlösung und du, ihr habt also beide Recht:$$0,5\cdot e^{\ln(2)\cdot t}=0,5\cdot2^t=2^{t-1}$$

Mit anderen Worten, ob du eine Exponentialfunktion oder eine Potenz verwendest, ist Geschmacksache.

Comments

Meiner unmaßgeblichen Meinung nach
ist a^x keine Potenzfunktion sondern
eine Exponentialfunktion.

x ^a wäre eine Potenzfunktion.

Answer 2

0,5= 2^-1

e^(ln(2)*t = 2^t

-> 2^(t-1)

Es ist also dasselbe.

Answer 3

Wurde versehentlich nicht abgeschickt.

Jede Exponentialgleichung kann in eine Exponen-
tlialgleichung mit anderer Basis umgewandelt werden
( x | y )
( 0 | 0.5 )
( 1 | 1 )

y ( x ) = y0 * q ^x

y ( 0 ) = y0 * q ^0 = 0.5
y0 = 0.5

y ( 1 ) = 0.5 * q ^1 = 1
q = 2

y ( x ) = 0.5 * 2^x

Umwandlung
2^x = e ^z | ln
x * ( ln(2) = z
2^x = e^(x*ln(2))

y ( x ) = 0.5 * e^(x*ln(2))

Die beiden Funktionen sind identisch.