Dirac-Stoss: Bestimmtes Integral von ( dx ln (cos x) δ(x) ) von -unendlich bis unendlich berechnen

Question

Aufgabe:

Wie berechne ich das bestimmte Integral

\( \int\limits_{-\infty}^{\infty} \) dx ln (cos x) δ(x)

Problem/Ansatz:

x=0 einsetzen oder muss ich differenzieren?

y= cos x

\( \int\limits_{-\infty}^{\infty} \) dx ln (cos x*(-sin x)) δ(x)

Comments

Wie kommt es zur Mischung von dx und deltax im gleichen Integral?

Ist das so gewollt? Wenn ja, bitte Schreibweise kurz erklären.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=ln(cos(x))

liefert:

Kann es sein, dass ihr so was berechnen müsst?

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Wir müssen die Eigenschaften der Dirac Delta Funktion berücksichtigen.

Es sollte lauten Delta(x)

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Habe nun oben in deiner Frage Klammern ergänzt.

Answer 1

Sollte das nicht einfach Null geben?

x=0 ist die einzige Stelle, an der delta(x) nicht Null ist.

ln(cos(0)) = ln(1) = 0  "mal" Diracstoss = 0 * (grosse Zahl)

Sonst überall

ln(cos(x)) * 0  = 0

Kontrolle:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(+ln+(cos+x)+δ(x)+)+from+-infinity+to+infinity

Falls mit wolframalpha nun richtig verstanden hat.