K[x] Polynomring - Basis?

Question

kann mir jemand sagen, wie ich formal korrekt folgendes aufschreiben kann? 

Sei K[x] der Polynomring mit Koeffizienten im Körper K. Ist {1,x+1,x^2+x+1, x^3+x^2+x+1, ..} eine Basis? Ich weiß bereits, dass  B = {1,x,x^2,..} eine Basis ist.

Mein Ansatz wäre: 

Zu zeigen: D = \( \sum\limits_{i=0}^{k}{x^i} \) mit k Element von ℕ₀.

Wir können die Basis {1,x,x^2,x^3, ..} auch mit dieser Basis darstellen und somit muss es sich ebenfalls um eine Basis handeln. Beispielsweise ist: 1 ∈ D, da x = x+1-1 ∈ span(D) ist.

Das ganze können wir nun mit allen Elementen machen, also:

x^k ist in span(D) mit k=1, .., m  = x^m+1 = 1+x+x..+x^m+1-1-x .. -x^m

^{Somit ist span(D) = K[x] Polynomring, span(D) ≡ B.} 

^{Vielen Dank vorab!} 

Answer 1

Die Elemente der neuen Basis sind qo ,  q1,  q2 , ….   mit

$$q_{k}= \sum \limits_{n=0}^{k} x^{n} $$ mit k Element von ℕ_o.

Wir können die Elemente der alten Basis {1,x,x^2,x^3, ..} auch mit der neuen  Basis darstellen

und zwar $$x^k = q_{k}-\sum \limits_{n=0}^{k-1} q_{n}$$ für alle  k Element von ℕo.

Also ist die neue Basis jedenfalls ein Erzeugendensystem für K[x].

Fehlt noch  qo ,  q1,  q2 , ….  sind linear unabhängig.

Und da sehe ich ein Problem:  Ansatz wäre ja:

Eine Linearkombination der   qo ,  q1,  q2 , ….  sei = 0

Aber das gäbe ja eine unendliche Summe ??????????

Also ich tippe mal:  Die sind vielleicht nicht linear unabhängig ???

Comments

Vielen Dank für die Rückmeldung! Somit dürfte es dann doch keine Basis sein, oder? 
Mein Nachhilfelehrer meinte es sei eine, daher die Annahme.

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Ich bin mir nicht sicher, aber ich hätte so recht keine Idee die

lineare Unabhängigkeit zu zeigen.

Wären es immer nur Polynome bis zu einem

bestimmten Grad, dann wäre es einfach. Aber so

habe ich halt keine Idee.

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Muss man hier nicht eine andere Definition für Lineare unabhängigkeit (für eine unendliche Menge) betrachten?

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Das kann sein. Dann ist es vielleicht doch

linear unabh.