K ein Körper ist Polynomring K[x] ein Körper?

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper. Ist der Polynomring K[X] ein Körper ?

Problem/Ansatz:

Hier wurde mir eine fiese Frage gestellt, ich will nachschauen ob ein Polynomring ein Körper ist. Da es aber so viele Möglichkeiten für Polynome gibt bricht mir gerade der Kopf zusammen wie is die Kriterien eines Körpers behandeln kann im Rahmen des Polynomrings.

Answer 1

Der Polynomring K[x] hat ein Einselement, nämlich das konstante Polynom 1.

Wenn er ein Körper wäre, müsste es z.B. zum Polynom x ein Polynom p geben

mit   x * p = 1 .   Das gibt es aber nicht. Also ist K[x] kein Körper.