Question

Sei K ein Körper und K[x] der Polynomring mit Koeffizienten in K.

a) Zeigen: (K[x])^∗ = K^∗ = {f ∈ K[x] | f ≠ 0 und grad(f) = 0}.

b) Sei f ∈ K[x] ein Polynom vom Grad 2 oder 3, welches keine Nullstelle in K besitzt.

Zeigen: f ist irreduzibel.

Ich hoffe ihr könnt mir hierbei weiterhelfen :)

Wie zeigt man das?

LG

Answer 1

wenn der * meint: alle die ein multiplikatives Inverses besitzen,dann
ist es klar:
Polynom mit Grad >0 enthält mindestens eine Potenz von x
und durch multiplizieren mit einem Körperelement oder anderen Potenz von
x wird das nicht verschwinden.
allerdings werden alle Körperelemente ungleich o
(und das ist ja K*) durch multiplizieren mit ihrem Inversen zu 1.

grad 2:
f = ax^2 + bx + c
angenommen reduzibel, dann existieren
f=(ux+v)*(wx+z)
  =  uwx^2 + vwx + uzx + vz
aber Einsetzen von x = -v/u zeigt
uw*v^2/u^2  - v^2 w/u - uzv/u  + vz
  =  wv^2 /u  - v^2w/u  - zv + vz  =0
also doch eine Nullstelle.

bein grad drei wäre es ja auch ein Linearfaktro
und ein quadratischer Term. Aiuch hier führ die
Nullstelle des Linearfaktors zum Ziel.