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Ist ℝ[t ]/ (ℝ[t]·(t2-1) ein Körper? 

 

Ich weiß, dass ich die Ringaxiome zeigen muss und dass man ℝ[t] auch als ∑ai·ti schreiben kann.

Leider komme ich nicht drauf, was ich damit anfangen soll. 

Wäre um einen kleinen Tipp sehr dankbar. 

Avatar von
ℝ[t ]/ (ℝ[t]·(t²-1) ist kein Körper, da t-1 ein Nullteiler ist. Gemeint ist sicherlich ℝ[t ]/ (ℝ[t]·(t²+1)
Nein ist es nicht ICH SOLL JA ÜBERPRÜFEN OB ES EINER IST ODER NICHT.
Wenn du lesen statt rumschreien würdest, könntest du sehen, dass deine Frage damit beantwortet wurde.
Könntest du mir bitte noch sagen bzw. einen Tipp geben, warum t-1 ein Nullteiler ist ? ;-)

2 Antworten

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Ringaxiome musst du nicht nachrechnen.

Die Definition von Idealen besagt gerade dass der Quotientenring - wie der Name schon sagt - ein Ring ist.

Mach dir klar das dem so ist. (Scheint dir ja nicht klar zu sein.)

Ferner kann man ℝ[t] nicht als ∑ai·ti  schreiben, das linke ist eine Menge von Polynom das rechte ein Polynom.


Am einfachsten ist es wohl zu zeigen, dass

$$f: \mathbb R[t] \to \mathbb C, 1\mapsto 1, t\mapsto i$$

ein surjektiver Ringhomomorphismus ist mit Kern

$$\mathbb R[t]\cdot (t^2-1)$$

ist. Dann folgt die Behauptung mit dem Homomorphiesatz
Avatar von
und wo habe ich dann gezeigt, dass es ein Körper ist?
Welche Beweisschritte bzw. verwendeten Beweistechniken oder ähnliches sind denn unklar?
alle ?
ich muss doch nur die Körpereigenschaften überprüfen ? und da es sich hier um einen Ring handelt sind das doch einfach die Ringaxiome ?
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die Antwort ist kurz und schmerzlos:

Das Element \( (t -1) \) (oder das Element \( (t + 1) \)) ist wegen \( (t-1)(t+1) = t^2 - 1 \) ein Nullteiler in \( \mathbb{R}[t] / (t^2 -1)\mathbb{R}[t] \).

Da ein Element nicht zugleich Einheit (invertierbar) und Nullteiler sein kann (*), ist \( \mathbb{R}[t] / (t^2 -1)\mathbb{R}[t] \) auch kein Körper.

MfG

Mister

PS: (*) Dies kann bei vorhandener Muße extra gezeigt werden.
Avatar von 8,9 k
Was bedeutet R[t]/(t2−1)R[t] denn eigentlich genau?
Was der Restklassenring \( \mathbb{R}[t] / (t^2 -1) \mathbb{R}[t] \) ist, ist ganz fundamentales Wissen. Das solltest du unbedingt im Vorlesungsskript recherchieren.

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