Ringaxiome musst du nicht nachrechnen.
Die Definition von Idealen besagt gerade dass der Quotientenring - wie der Name schon sagt - ein Ring ist.
Mach dir klar das dem so ist. (Scheint dir ja nicht klar zu sein.)
Ferner kann man ℝ[t] nicht als ∑ai·ti schreiben, das linke ist eine Menge von Polynom das rechte ein Polynom.
Am einfachsten ist es wohl zu zeigen, dass
$$f: \mathbb R[t] \to \mathbb C, 1\mapsto 1, t\mapsto i$$
ein surjektiver Ringhomomorphismus ist mit Kern
$$\mathbb R[t]\cdot (t^2-1)$$
ist. Dann folgt die Behauptung mit dem Homomorphiesatz