Zeige, dass x²+y²=z^n unendlich viele Lösungen hat.

Question

ich soll zeigen, dass obige Aussage für alle n ∈ ℕ und x,y,z ∈ ℕ gilt.

Meine Idee: Beweis durch Induktion.

Schon der Induktionsanfang bereitet mir Probleme:

n=1:     x² + y² = z    Hierbei handelt es sich um den Einheitskreis mit Radius z.

Und nun? Der Einheitskreis hat doch nicht unendlich viele Lösungen. Oder ist das doch nicht der Einheitskreis und ich stehe gerade völlig auf dem Schlauch?

Comments

Ich habe mir nun nochmal Gedanken zu der Aufgabe gemacht und bin mittlerweile zu folgendem Schluss für den Induktionsanfang gekommen:

x²+y² = z  Für beliebiges, aber festes x lasse für y alle natürlichen Zahlen durchlaufen. Sei o.B.d.A. x=1. Dann erhält man unendlich viele Tripel der Form (1,y,y²+1).

Stimmt das so? Muss ich das zusätzlich zur eigentlichen Induktion noch für alle x beweisen?

Und was mir auch aufgefallen ist: Für x=2 liegt ja der Satz des Pythagoras vor. Muss ich den im Beweis nochmal gesondert betrachten? Oder kann ich einfach mit dem Induktionsschritt weiter machen?

Answer 1

Die Tripel  $$(t^n,0,t^2)$$

füe beliebige natürliche Zahlen t sind unendlich viele Lösungen.