Zeige, dass K := {(x,y,z) ∈ ℝ³ : x² + y² = z ,0 ≤ z ≤ 1} kompakt ist.

Question

Aufgabe:

a) Beweise, dass (0,0) ein Randpunkt der Menge U:= {(x,cos(1/x)) : x ∈ (0,1)} ist

b) Zeige, dass K := {(x,y,z) ∈ ℝ³ : x² + y² = z ,0 ≤ z ≤ 1} kompakt ist.

Answer 1

Zu b):

Die Funktionen \(f, \; g :\; \mathbb{R}^3\to \mathbb{R},\; f(x,y,z)=x^2+y^2-z,\; g(x,y,z)=z\)

sind stetig. Daher sind die Urbildmengen abgeschlossener Mengen unter ihnen

ebenfalls abgeschlossen. Wir haben durch

\(K=f^{-1}(\{0\})\;\cap\; g^{-1}([0,1])\) somit \(K\) als Durchschnitt

zweier abgeschlossener Mengen dargestellt, \(K\) ist daher abgeschlossen.

Ist nun \((x,y,z)\in K\) so glilt

\(x^2+y^2+z^2=z+z^2=z\cdot (z+1)\leq 1\cdot 2=2\) und damit

\(\|K\|_2\leq \sqrt{2}\), d.h. \(K\) ist beschränkt.

Eine abgeschlossene, beschränkte Menge im \((\mathbb{R}^3,\; \|*\|_2)\) ist kompakt

(Heine-Borel).

Comments

Danke für die Hilfe!!

Kann mir jemand bei a) ein Tipp oder eine Vorgehensweise sagen?

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Zu (a):

Zeige, dass für \(x_n=\frac{1}{\pi/2+2n\pi}\) gilt \((x_n,\cos(\frac{1}{x_n}))\to (0,0)\)

für \(n\to \infty\).