Fubini: Berechne das Volumen von M:={ (x,y,z) ∈ R³ | 0 ≤ z ≤ 4, x² + y² ≤ z }

Question

ich benötige Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

Berechne das Volumen von M:={ (x,y,z) ∈ R³ | 0 ≤ z ≤ 4, x² + y² ≤ z }.

Mir ist bewusst, dass ich hier ein "Dreifachintegral" ausrechnen muss. Die Integralgrenzen für das erste der drei Integrale (z) stehen ja schon da, aber für x bzw. y krieg ich sie nicht sinnvoll abgebildet.



Vielen Dank und beste Grüße
Melanie

Comments

Mach 'ne Skizze von M. Vorher brauchst Du gar nichts anderes anzufangen.

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x² + y² ≤ z ist eine Kreisfläche um x = 0 und y = 0 mir r = √z

Demzufolge kannst du -√z <= y <= √z nehmen.

Answer 1

wähle Zylinderkoordinaten:

V=∫dV

mit dV=rdrdφdz

r^2=x^2+y^2<=z

r<=√z

Also ist

V=∫(0 bis 2π) dφ *∫ (0 bis 4)[ dz * ∫ (0 bis √z) rdr ]

=2π ∫ (0 bis 4) dz √z

=2π*16/3=32π/3