Der Kreisbogen von 1 bis e^{ix} hat die Länge Betrag von x

Question

Ich komme bei dieser Aufgabe gar nicht weiter. Ich weiß nicht wie ich L_n  ausrechnen soll. Wenn ich ich für P⁽ⁿ⁾   einsetzte weiß ich leider nicht wie ich weiter auflösen kann

Answer 1

Ln=∑(k=1 bis n) |e^{ikx/n}-e^{i[k-1]x/n}|

=∑(k=1 bis n) |1-e^{-ix/n}|

=∑(k=1 bis n) |1-cos(x/n)+isin(x/n)|

=∑(k=1 bis n) √(1-cos(x/n)^2+sin(x/n)^2

=∑(k=1 bis n)

 √1-2cos(x/n)+COS(x/n)^2+sin(x/n)^2

=∑(k=1 bis n) √2-2cos(x/n)

=∑(k=1 bis n)√4sin^2(x/(2n))

=∑(k=1 bis n) 2|sin(x/(2n))|

=2n|sin(x/(2n))|

b) ziehe den Limes unter den Grenzwert und verwende die Taylor Entwicklung des Sinus.

Comments

Vielen Dank :) Geht b auch ohne die Taylor Entwicklung? Diese haben wir leider noch nicht behandelt

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Verwende z.B die Abschätzung

-x/(2n)<=sin(x/(2n))<=x/(2n)

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hallo

∑(k=1 bis n) 2|sin(x/(2n))|

=2n|sin(x/(2n))|

warum haben Sie hier so geschrieben ?

ich kann das leider nicht verstehen :(

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∑(k=1 bis n) 2|sin(x/(2n))|

Im Summanden taucht die Summationsvariable k nicht auf (n ist eine Konstante). Daher kann 2|sin(x/(2n))| als Faktor vorgezogen werden.

∑(k=1 bis n) 2|sin(x/(2n))

=|2|sin(x/(2n))| * ∑(k=1 bis n) 1

Die letzte Summe ist leicht abzählbar ;).

Answer 2

EDIT(Lu): habe die Fragestellung von Bango zu einer Antwort gemacht, damit sie nicht aus Versehen entfernt wird. (Grund: Zumindestens andere Buchstaben und zudem viele Nachfragen) 

Vom Duplikat:

Titel: Beweis eines trigonometrischen Ausdruck

Stichworte: sinus,funktion,vereinfachen,term

ich sitze nun schon Stunden vor dieser wohl eher einfachen Aufgabe, habt ihr da eine Idee?

Comments

Hi,

schau mal hier nach :

https://www.mathelounge.de/460903/der-kreisbogen-von-1-bis-e-ix-hat-die-lange-betrag-von-x

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Danke.

Ich habe aber mal zwei Frage und zwar, was hast du in der ersten zur zweiten Zeile umgeformt?

Du hast bestimmt das zweite e auseinandergezogen  und dann mit dem erste ausgeklammert richtig? Aber wo ist dieses ausgeklammerte e?

In der vorletzen Zeile steht aufeinmal ein 2n, wo kommt aufeinmal das n her?

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In der ersten zur zweiten Zeile wurde e^{ikx/n} ausgeklammert. Dann kannst du das mit dem Betrag als Faktor rausziehen und ausnutzen, dass |e^{ikx/n}|=1 ist.

Das n am Ende kommt durch die Summe. Wenn man von k=1 bis n summiert, so entspricht dies n Summanden. Und da die Summanden unabhängig von k sind kommt einfach n*(dem Term unter der Summe) raus.

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Aber warum ist das denn 1? Wie kann man sich dies erklären?

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e^{ikx/n} ist eine Zahl auf dem Einheitskreis der komplexen Ebene.

Gemäß eulerscher Identität und trigonometrischen Pythagoras ist

|e^{ikx/n}|=|cos(ikx/n)+isin(kx/n)|

=√cos^2(ikx/n)+sin^2(ikx/n)

=1 

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Damit ist die Frage beantwortet?

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Bis auf das i im Cosinus, macht es Sinn.

Müsste es nicht eigentlich cos(kx/n)+i sin(kx/n) lauten?

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Genau, in dem Referenzlink ist es richtig gerechnet worden.

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Also darf ich die geometrischen Eigenschaften (sin^2+cos^2 =1) trotz des i vor dem sin nutzen?

Das würde nämlich alles erklären, wusste nämlich bicht, dass so etwas geht.

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Das entspricht der Betragsberechnung für komplexe Zahlen. Da gilt \( | z | = | x + i y | = \sqrt{x^2 + y^2} \)

Hier ist \( x = \cos \left( \frac{k x }{n} \right) \) und \( y = \sin \left( \frac{k x }{n} \right) \)

Überhaupt darf im Argument von \( \sin() \) und \( \cos() \) nie ein \( i \) stehen, was bei jc2144 aber mehrmals der Fall war. Ich gehe davon aus, dass das Schreibfehler waren.

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Ja da hab ich zu viel copy and paste gemacht, das i gehört nicht in COS und sin rein :)

(Sonst wäre ja COS(ikx/n)=cosh(kx/n))

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Ok

Also folgt nun: cos(2k/n)+isin(2k/n) = sqrt(cos^2(2k/n)+sin^2(2k/n)) = sqrt(1) = 1

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Quatsch. Einmal fehlen wohl auf der linken Seite die Betragsstriche und zum anderen stimmen die Argumente nicht.

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Ja die Betragssstriche fehlen. Aber wenn das alles Quatsch ist, wie wird dies dann 1?

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Das ist nicht alles Quatsch. Nur die Betragsstriche haben gefehlt und Du hast die falschen Argumente eingesetzt. Es gilt aber immer \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \)

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Ach ok, also wird dann ersteinmal aufsummiert um das k/n loszuwerden.

Ich bedanke mich:)

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Hallo jc2144, ich würde mich hier nun gerne einmal einmischen, denn ich muss die selbige Aufgabe lösen und verstehe deine Rechnung nicht ganz.

Das Dünngedruckte ist klar, das Dickgedruckte nicht.

"

Ln=∑(k=1 bis n) |eikx/n-ei[k-1]x/n|

=∑(k=1 bis n) |1-e-ix/n|

=∑(k=1 bis n) |1-cos(x/n)+isin(x/n)|

=∑(k=1 bis n) √(1-cos(x/n)2+sin(x/n)2

=∑(k=1 bis n)

√1-2cos(x/n)+COS(x/n)2+sin(x/n)2   Wie kommt man hier auf 2*cos(x/n) ?

=∑(k=1 bis n) √2-2cos(x/n)  Darf man hier die geometrische Eigenschaft  cos(x/n)2+sin(x/n)2 = 1 überhaupt anwenden?

=∑(k=1 bis n)√4sin2(x/(2n))

=∑(k=1 bis n) 2|sin(x/(2n))|

=2n|sin(x/(2n))|

"

Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen, ist aber auch eine komplizierte Aufgabe xD.

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Hi,

in der Zeile vor der ersten fett gedruckten Zeile steht doch in der Summe \( |1 - e^{i \frac{x}{n}} | \) und das ist doch \( \sqrt{ \left(1 - \cos \left( \frac{x}{n}  \right) \right)^2 + \sin^2 \left(\frac{x}{n} \right) } \) Die erste Klammer nach der Binomischenformel ausmultiplizieren ergibt u.a. den Term \( 2 \cos\left(  \frac{x}{n} \right) \)

Warum sollte man \( \cos^2 + \sin^2 = 1 \) nicht verwenden dürfen?

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Hi!

Ach da steht ja  (1-cos(x/n))^2, dann macht es natürlich sinn.

Dann eine andere Frage, warum steht nur (1-cos)^2 in Klammern und nicht der sin? 

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Warum soll das in Klammern stehen? Das ist doch keine Summe oder ähnliches!

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Aber warum dann (1 - cos)^2 und nicht 1^2-cos^2? Verstehst du auf was ich hinnaus möchte? :)

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Der Betrag einer komplexen Zahl \( z \) berechnet sich ganz allgemein zu \( \sqrt{ \Re^2(z) + \Im^2(z)  } \), dass sollte eigentlich bekannt sein. Der Realteil von \( z = 1 - e^{ i \frac{x}{n}} \) ist \( \Re(z) = 1 - \cos \left(  \frac{x}{n} \right) \) und der Imaginärteil ist \( \Im(z) = \sin\left( \frac{x}{n} \right)  \)

Jetzt solltest Du es verstehen. Ansonsten fehlen Dir definitv Basisgrundlagen, die Du erstmal erarbeiten müsstes, bevor wir hier weiter machen.

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Das acht nun SINN.

Also ich verstehe ja schon alles, nur benutzt man diese Dinge zu selten und kennt daher nur die einfachen Umformungen.

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Hallo nocheinmal.

Ich habe nun alles verstanden bis auf diese Zeile hier:

=∑(k=1 bis n)√4sin2(x/(2n))

=∑(k=1 bis n) 2|sin(x/(2n))|

Wie kommt man auf sin^2 und wo kommt die 2 im Nenner her?

Man geht ja von dieser Eigenschaft hier aus cos(x) + sin(x)=1

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Sry ich meinte diese Zeilen hier

=∑(k=1 bis n) √2-2cos(x/n)

=∑(k=1 bis n)√4sin2(x/(2n))

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Also ich habe mir nun alles dazu durchgelesen und finde den Trick einfach nicht:(

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Das ist ein trigonometrischer Zusammenhang:

siehe unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Sinus