Kreisbogen durch Polygonzug angenähert

Question

Aufgabe:

θ∈[0,2π] 

Wir wissen Länge des Einheitskreisbogens von 1 bis e^iθ ist gleich θ.

Wissen Begründung den Kreisbogen durch einen polygonzug annähert.

ZZ:

\( \lim\limits_{N\to\infty} \) \( \sum\limits_{n=1}^{N}\) | e^in(θ/N) - e^i(n-1)θ/N | = θ

Wie kann ich den Betrag vereinfachen…

Comments

Wie kann ich den Betrag vereinfachen…

Indem Du den Faktor \(\exp(i(n-1)\theta /N)\) ausklammerst - auch aus dem Betrag

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Danke für den Hinweis, schaffe es allerdings nicht.

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Ich habe es mal für n=1 berechnet und dann komme ich auf

| e^i*(θ/1) - e^i*0*(θ/1) |

| e^i*θ -e⁰ |

| 1-1|

0=θ

Das bekomme ich auch für n=2 heraus usw

Ich bin echt verzweifelt und komme nicht weiter ich habe es aus mit dem ln versucht.

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Wie kommst Du denn auf die erste 1 in |1-1?|

Answer 1

Also es geht so:

$$|\exp(in\theta /N)-\exp(i(n-1)\theta/N)|=|\exp(i\theta /N)-1)\exp(i(n-1)\theta/N)|=|\exp(i\theta /N)-1| \cdot 1$$

Wir benutzen dann die Taylorentwicklung von exp um den Nullpunkt und erhalten:

$$|\exp(i\theta /N)-1| =\theta/N+R$$

mit

$$|R|\leq |\exp(i\theta /N)-1-i\theta/N=| \frac{\theta^2}{N^2}\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k!} \left(\frac{\theta}{N}\right)^{k-2}|\leq \frac{const}{N^2}$$

Damit liefert die Summe in der Aufgabenstellung den Wert \(\theta\) mit dem Rest \(NR\), der wie 1\N gegen 0 geht.

Gruß Mathhilf

Comments

Die Taylorentwicklung hatten wir noch nicht in der VL.

Auf die erste 1 komme ich da wie e^iθ so definiert haben.

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Wie habt Ihr \(e^{i\theta}\) definiert? Oder allgemeiner \(e^z\) für eine komoplexe Zahl z?

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e^iθ = cos θ + i sin θ haben wir so definiert

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Dann sehe ich zwar noch nicht, wie Du oben 1-1 erhalten hast.

Aber das eigentliche Problem bleibt ja die Abschätzung. Da sehe ich nicht, wie man ohne Taylor-Entwicklung weiterkommen kann.

Gruß Mathhilf

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Hallo,

es geht doch einfacher, ich hatte nicht bedacht, dass ja der Summand nach Ausklammern gar nicht mehr von n abhängt die Summe ist also einfach Folgendes ist

$$N |\exp(i\theta/N)-1|=\theta |\frac{\exp(i \theta/N)-1}{i \theta/N}| \to \theta$$

Denn der Term in den Absolutstrichen, ist gerade der Differenzenquotient für die Ableitung der exp-Funktion im Nullpunkt.

Gruß Mathhilf