Integrationsgrenzen: Satz von Fubini

Question

 

ich hab hier drei Integrale die ich mit Hilfe des Satzes von Fubini lösen soll. Das ist für mich kein Problem denke ich, aber irgendwie raffe ich die Integrationsgrenzen nicht.

Die erste Aufgabe ist: 

1)
$$\int _{ B }{ ({ x }^{ 2 } } -\quad { y }^{ 2 })d(x,y)\quad$$ zwischen den Graphen mit y = x^2 und y = x^3 für x ϵ  (0,1) 

Hier hab ich auch eine Frage neben der Integrationsgrenze, wie darf ich hier die beiden Graphen auffassen?

2)
$$\int _{ B }{ \frac { sin(y) }{ y } d(x,y) } $$ 

mit $$B\quad =\quad \left\{ ({ x },{ y })^{ T }\epsilon \quad R^{ 2 }:\quad 0\quad \le \quad x\quad \le \quad y\quad \le \quad \frac { \pi  }{ 2 }  \right\} $$

3)

$$\int _{ B }{ d(x,y,z) } $$ für eine Kugel mit Radius R.

Wir sollen nur kartesische Koordinaten nutzen.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.Ich stell mich noch etwas dusselig an, wenn es dazu kommt wie man die Integrationsgrenzen setzt. 
Ich danke schonmal

Liebe Grüße
Moony

Answer 1

Hier steht alles auf einer Seite in grossen Buchstaben:

https://www.math.tugraz.at/~wagner/Normalbereiche.pdf

Du kannst es als Poster ausdrucken und an die Wand nageln. :)

Comments

Okay wäre dann bei 1) die Grenzen von 0 bis 1 für dx und x^2 bis x^3 für dy oder wie?

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Wie soll es sonst gemeint sein??

Fuer 3) verrate ich Dir noch, wie es in 3D geht. Betrachte zunaechst die Projektion \(\overline{B}\) von \(B\) in die \(xy\)-Ebene. (Skizze machen!)

Wenn man dann $$B=\{(x,y,z):(x,y)\in \overline{B}\wedge i(x,y)\le z\le j(x,y)\}$$ schreiben kann, hat man entsprechend $$\int_B f(x,y,z)\,d(x,y,z)=\int_{\overline{B}}\int_{i(x,y)}^{j(x,y)}f(x,y,z)\,dz\,d(x,y).$$ Wenn jetzt \(\overline{B}\) wie auf dem Poster  eine Normalbereich bezueglich der \(y\)-Achse ist, ergibt das $$\ldots=\int_a^b\!\int_{g(x)}^{h(x)}\!\!\int_{i(x,y)}^{j(x,y)}f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.$$