Aloha :)
Die eingeschlossene Fläche ist ein Dreieck mit den Eckpunkten (1;1), (1;2) und (2;2). Zur Parameterisierung können wir \(x\in[1;2]\) und \(y\in[1;x]\) laufen lassen.
$$I=\int\limits_1^2dx\int\limits_1^xdy\,\frac{x^2}{y^2}=\int\limits_1^2dx\left[-\frac{x^2}{y}\right]_{y=1}^{y=x}=\int\limits_1^2dx\left(-x+x^2\right)=\left[-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}\right]_1^2$$$$\phantom{I}=-\frac{4}{2}+\frac{8}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{-12+16+3-2}{6}=\frac{5}{6}$$