Gliedweise Integration von (3x^3 - x^2 + 4x -8) /(x^2(x^2 + 4))

Question

\( \int \limits_{2}^{2 \sqrt{3}} \frac{3 x^{3}-x^{2}+4 x-8}{x^{2}\left(x^{2}+4\right)} \)

Wie lässt sich dieses Integral berechnen? Einziger Lösungsansatz der gegeben ist, ist die gliedweise Integration.

Comments

Kannst du das eventuell in eine Summe von Brüchen unterteilen? Zähler sieht ja teilweise wie die innere Ableitung des Nenners aus. Für den Rest vielleicht Partialbruchzerlegung.

Oder Integrand so auseinandernehmen und den 1.Teil kürzen: x^2(3x-1)/(x^2(x^2+4)) + 4x-8/(x^2(x^2 + 4))

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Durch die Partialbruchzerlegung erhalte ich:

1/x - 2/x² + (2x+1)/(x²+4)

∫ f(x) dx =  ln(x) + 2/x + ln(x²+4)

 

In einer Musterlösung (leider ohne Rechenweg), die ich eben bekommen habe, lautet das Ergebnis jedoch

∫ f(x) dx =  ln(x) + 2/x + ln(x²+4) + 1/2 arctan(x/2)

 

Wo kommt das 1/2 arctan(x/2) her?

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1/(4+x^2) schreit nach einer Substitution bei der arctan ins Spiel kommt.

vgl. hier: https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_substitution#Integrals_containing_a2_.2B_x2

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Habe meinen Fehler mittlerweile gefunden und bekomme jetzt auch das angegebene Ergebnis.
Danke für deine Hilfe, hat mir sehr geholfen!

Answer 1

Kannst du das eventuell in eine Summe von Brüchen unterteilen? Zähler sieht ja teilweise wie die innere Ableitung des Nenners aus. Für den Rest vielleicht Partialbruchzerlegung.

Oder Integrand so auseinandernehmen und den 1.Teil kürzen: x²(3x-1)/(x²(x²+4)) + 4x-8/(x²(x² + 4))

Durch die Partialbruchzerlegung erhalte ich:

 

1/x - 2/x² + (2x+1)/(x²+4)

∫ f(x) dx =  ln(x) + 2/x + ln(x²+4)

In einer Musterlösung (leider ohne Rechenweg), die ich eben bekommen habe, lautet das Ergebnis jedoch 

∫ f(x) dx =  ln(x) + 2/x + ln(x²+4) + 1/2 arctan(x/2)

Wo kommt das 1/2 arctan(x/2) her?

1/(4+x²) schreit nach einer Substitution bei der arctan ins Spiel kommt.

vgl. hier:https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_substitution#Integrals_containing_a2_.2B_x2

Answer 2

Partialbruchzerlegung ergibt:$$\frac { 3{ x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }+4x-8 }{ { x }^{ 2 }{ \left( { x }^{ 2 }+4 \right)  } }$$$$=\frac { 1 }{ x } -\frac { 2 }{ { x }^{ 2 } } +\frac { 2x }{ { x }^{ 2 }+4 } +\frac { 1 }{ { x }^{ 2 }+4 }$$also:$$\int _{ 2 }^{ 2\sqrt { 3 }  }{ \frac { 3{ x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }+4x-8 }{ { x }^{ 2 }{ \left( { x }^{ 2 }+4 \right)  } }  }$$$$=\int _{ 2 }^{ 2\sqrt { 3 }  }{ \frac { 1 }{ { x } }  } -\frac { 2 }{ { x }^{ 2 } } +\frac { 2x }{ { { x }^{ 2 }+4 } } +\frac { 1 }{ { { x }^{ 2 }+4 } } dx$$Beim ersten und dritten Summanden nutzt man aus, dass jeweils im Zähler die Ableitung des Nenners steht. In solchen Fällen nämlich gilt: \(\int { \frac { f' }{ f }  } = ln(f)+C\).

Der zweite Summand ist einfach zu integrieren und beim vierten Summanden habe ich mir Hilfe bei WolframAlpha geholt. Ergebnis:$$={ \left[ ln(x)+\frac { 2 }{ x } +ln({ x }^{ 2 }+4)+\frac { 1 }{ 2 } \arctan { (\frac { x }{ 2 } ) }  \right]  }_{ 2 }^{ 2\sqrt { 3 }  }$$Ausrechnen darfst du das aber nun selber :-)