Integration von x^2/y^2 mit integrationsgrenzen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie das Integral der Funktion f(x,y) = x²/y² über der Fläche, die von den Geraden y = 1, x = 2 und y = x eingeschlossen wird

Problem/Ansatz:

Ich komme nicht auf die INtegratiosgrenzen, habe da wirklich ein riesiges Brett vorm Kopf glaube ich.

Answer 1

Hallo

zeichne das Gebiet, dann siehst du dass du das in 2 Schritten run musst

y Grenzen von 0 bis x als inneres, x von 0 bis1 dann  und von x=1 bis x=2,  y  von 0 bis 1

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Die eingeschlossene Fläche ist ein Dreieck mit den Eckpunkten (1;1), (1;2) und (2;2). Zur Parameterisierung können wir \(x\in[1;2]\) und \(y\in[1;x]\) laufen lassen.

$$I=\int\limits_1^2dx\int\limits_1^xdy\,\frac{x^2}{y^2}=\int\limits_1^2dx\left[-\frac{x^2}{y}\right]_{y=1}^{y=x}=\int\limits_1^2dx\left(-x+x^2\right)=\left[-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}\right]_1^2$$$$\phantom{I}=-\frac{4}{2}+\frac{8}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{-12+16+3-2}{6}=\frac{5}{6}$$