Zu b):
Die Funktionen \(f, \; g :\; \mathbb{R}^3\to \mathbb{R},\; f(x,y,z)=x^2+y^2-z,\; g(x,y,z)=z\)
sind stetig. Daher sind die Urbildmengen abgeschlossener Mengen unter ihnen
ebenfalls abgeschlossen. Wir haben durch
\(K=f^{-1}(\{0\})\;\cap\; g^{-1}([0,1])\) somit \(K\) als Durchschnitt
zweier abgeschlossener Mengen dargestellt, \(K\) ist daher abgeschlossen.
Ist nun \((x,y,z)\in K\) so glilt
\(x^2+y^2+z^2=z+z^2=z\cdot (z+1)\leq 1\cdot 2=2\) und damit
\(\|K\|_2\leq \sqrt{2}\), d.h. \(K\) ist beschränkt.
Eine abgeschlossene, beschränkte Menge im \((\mathbb{R}^3,\; \|*\|_2)\) ist kompakt
(Heine-Borel).
