Zeigen Sie folgende Ungleichung ∀x, y ∈ R : 2xy ≤ 1/2( x + y)² ≤ x² + y²

Question

Ich steh gerade ein wenig auf dem Schlauch, ich weiß nicht genau wie ich den Beweis

formulieren soll für:  ∀x, y ∈ R : 2xy ≤ 1/2( x + y)² ≤ x² + y²

Bei dem rot markierten liegt mein Problem.

Answer 1

Linker Teil:

2xy ≤ 1/2( x + y)²  ist äquivalent zu

4xy ≤ ( x + y)²

4xy ≤ x² +2xy+ y²

0 ≤ x² - 2xy+ y²

0 ≤ (x-y)²  (stimmt immer).

Rechter Teil:

1/2( x + y)² ≤ x² + y²  ist äquivalent zu

( x + y)² ≤ 2x² + 2y²  

x²+2xy+y²≤ 2x² + 2y²   (linke Seite subtrahieren...)

0≤ ...

Den Rest schaffst  du.