Ungleichung mit Betrag lösen. -2 I x* yI ≤ -2xy

Question

-2 I x* yI  ≤ -2xy

Fall 1) x*y ≥ 0 ⇒ -2 x*y ≤ -2xy

Fall 2 ) x*y < 0 ⇒ -2*-(x*y) ≤ -2xy ⇔ 2 (x*y) ≤ -2xy

, korrekt?

Answer 1

-2 I x* yI  ≤ -2xy

Fall 1) x*y ≥ 0
-2 x*y ≤ -2xy  | : -2
xy ≥ xy  | Stets

Fall 2 ) x*y < 0
-2*-(x*y) *(-1) ≥ -2xy
2*-(x*y)  ≥ -2xy
xy ≥ -xy  | : xy , Die Eingangsvoraussetzung war xy < 0
1 ≤ -1  | falsch

Also gilt : für x*y ≥ 0 ist die Behauptung wahr

Wahr falls
( x ≥ 0 ) und ( y ≥ 0  )
und
( x ≤ 0 ) und ( y ≤ 0  )

Comments

Da muß ich vielleicht noch etwas korrigieren.

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Fall 2 ) x*y < 0
-2 * (x*y) *(-1) ≤ -2xy
2*(x*y)  ≤ -2xy  | :2
xy ≤ -xy  | : xy, Eingansvoraussetzung xy  < 0
1 ≥ -1 | stets

Probe
x = -4
y = 3
-2 I x* yI  ≤ -2xy
-2 I -4*  3 I  ≤ -2*( -4 * 3 )
-24 ≤ 24

Also : die Behauptung ist stets wahr.

Answer 2

Hi, statt unnötigen Fallunterscheidungen nachzugehen, ist eine vereinfachende Äquivalenzumformung wesentlich zielführender:$$ -2 \left| xy \right| \le -2xy \quad\Leftrightarrow\quad \left| xy \right| \ge xy $$Die letzte Aussage ist offensichtlich immer wahr.

Comments

Schön erkannt.