Beweise 2|xy| ≤ x² + y²: ∀ x,y ∈ ℝ

Question

Ich möchte folgende Aufgabe beweisen, komme leider nicht weiter:

Aufgabe:

$$2|xy| \leq x^2 + y^2 :\forall x,y \in \mathbb{R}$$

Problem/Ansatz:

\( 2|xy| \leq x^2 +y^2 \\4x^2y^2\leq x^4 + 2x^2y^2+y^4 \\2x^2y^2 \leq x^4 + y^4\)

Kann mir jemand hier bitte helfen?

Comments

Weshalb ist dein Name
While = true
?
mfg Georg

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Bin Informatiker und ein Fan von while loops

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Ich war mal Programmentwickler.
Dann mußt du die Abbruchbedingung
also im while-Text anführen ?
Vorteile ?

Answer 1

Aloha :)$$0\le(|x|-|y|)^2=|x|^2-2|x||y|+|y|^2=x^2-2|xy|+y^2$$$$\Leftrightarrow\quad 2|xy|\le x^2+y^2$$

Answer 2

Hallo

 es gilt (x-y)^2>=0  natürlich auch (x+y)^2>=0 damit mach weiter

Gruß lul

Answer 3

2 |xy| ≤ x^2+y^2

Fallunterscheidung
1.) xy >= 0 dafür gilt
|xy| ist xy
2 xy ≤ x^2+y^2
x^2 - 2xy + y^2 >= 0
2.Binomische Formel
( x - y )^2 ≥ 0
Gilt immer da ein Quadrat stets ≥ 0 ist.

2.) xy <= 0 dafür gilt
|xy| ist (xy)*(-1)
2 (xy)*(-1) ≤ x^2+y^2
- 2 (xy) ≤ x^2+y^2
x^2 + 2xy + y^2 >= 0
1.Binomische Formel
( x + y )^2 ≥ 0
Gilt immer da ein Quadrat stets ≥ 0 ist.