Betragsungleichung: (2·x + 2)/(1 - |x|) ≤ x

Question

habe eine Frage zu

(2x+2) / (1-|x|) <= x

Ich habe daraus:

1. Fall) 1-x>0 <=> x<1

Auflösen:

2x+2 <= x(1-x)

2x+2 <= x-x^2

x^2+x+2<= 0   -> Mit PQ-Formel keine Lösung

2. Fall) 1-x<0  <=> x>1

Auflösen:

2x+2 >= x(1+x)

2x+2 >= x+x^2

x^2-x-2>= 0   -> Mit PQ-Formel

x1= 2,  x2=-1

Die Lösung muss x>1 sein. Was habe ich falsch gemacht?

Answer 1

Fall 1: x ≥ 0

(2·x + 2)/(1 - x) ≤ x

Fall 1.1: 1 - x ≥ 0 --> x ≤ 1

2·x + 2 ≤ x·(1 - x)

2·x + 2 ≤ x - x^2

x^2 + x + 2 ≤ 0

keine Lösung

Fall 1.2: x ≥ 1

2·x + 2 ≥ x·(1 - x)

2·x + 2 ≥ x - x^2

x^2 + x + 2 ≥ 0

immer wahr --> x > 1

Fall 2: x ≤ 0

(2·x + 2)/(1 + x) ≤ x

Fall 2.1: 1 + x ≥ 0 --> x ≥ -1

2·x + 2 ≤ x·(1 + x)

2·x + 2 ≤ x + x^2

x^2 - x - 2 ≥ 0

x ≤ -1 ∨ x ≥ 2 --> keine Lösung

Fall 2.2: x ≤ -1

2·x + 2 ≥ x·(1 + x)

2·x + 2 ≥ x + x^2

x^2 - x - 2 ≤ 0

-1 ≤ x ≤ 2 --> keine Lösung

Wir bekommen hier insgesamt die Lösung x > 1.

Comments

Meinung Lösung ist etwas ungeschickt mit den Vielen Fallunterscheidungen. Vielleicht kann das jemand etwas optimierter machen.