Betragsungleichung mit zwei Beträgen |3x+6|≤|0,5x-4|

Question

Ich komme bei dieser Betragsungleichung bei der Fallunterscheidung auf den selben Fall.. frage mich nun wo der Fehler liegt

|3x+6|≤|0,5x-4|

Answer 1

|3x+6|≤|0,5x-4|

unterscheide

1)   x<-2   dann -3x-6 ≤ -0,5x+4

2)   -2≤x≤8   dann 3x+6 ≤ -0,5x+4

3)     x>8     dann 3x+6 ≤ 0,5x-4

Answer 2

Trick mit Quadrieren und Quadratische Gleichung lösen geht hier auch.

|3x+6|≤|0,5x-4|       | ^2

(3x + 6)^2 ≤ (0.5x - 4)^2

Gleichung

(3x + 6)^2 = (1/2 x - 4)^2  hat die Lösungen x1 = -4, x2 = -4/7 . 

Nun Punktproben

1. rechts von x2 mit z.B.  x = 0:  |3*0+6|≤? |0,5*0-4| ? Also 6 ≤? 4 . falsch

2. zwischen x1 und x2 mit z.B.  x = -1:  |3*(-1)+6|≤? |0,5*(-1)-4| ? Also 3 ≤ 4.5 . richtig

3. links von x1 mit z.B.  x = 5:  |3*(-5)+6|≤? |0,5*(-5)-4| ? Also 9 ≤ 6.5. falsch.

Fazit

Lösungsmenge der Betragsungleichung ist L = { x Element R | -4 ≤ x ≤ -4/7 }