Für x, y aus R mit 0<x≤y Ungleichung zeigen: x^2 ≤((2xy)/(x+y))^2

Question

Aufgabe:

Zeigen soll man: für x, y ∈ ℝ mit 0<x ≤ y:

x² ≤ ( \( \frac{2xy}{x+y} \))²

Gezeigt soll außerdem, dass die Gleichheit genau dann gilt, wenn x=y ist, d.h.

x = y ⇔x² = (\( \frac{2xy}{x+y} \))²
Problem/Ansatz:

Wie geht man da voran?

Sic!  x^2 ≤((2xy)/(x+y))^2

Answer 1

Hallo

 durch x^2>0 kürzen, mit Nenner  multiplizieren

 0<x<=y =>x=r*y mit 0<r<=1 einsetzen

Gruß lul

Answer 2

man sollte vor allem nicht von der Behauptung ausgehend drauflos umformen, denn ein "Beweis", der die Behauptung als wahr voraussetzt ist KEIN Beweis.

Du kannst allerdings sehr wohl die Behauptung als einen Ausgangspunkt der BeweisFINDUNG nehmen.

Da die beteiligten Zahlen positiv sind, kann man die Wurzel ziehen und erhält

$$x\le \frac{2xy}{x+y}$$

Multiplikation mit dem Nenner liefert

$$x²+xy \le 2xy $$, daraus wird

$$x² \le xy $$ und man darf wegen x>0 durch x teilen und erhält 

$$x \le y $$ (was laut Voraussetzung stimmt).

JETZT kannst du diesen Weg umkehren und daraus einen echten Beweis machen:

Aus der Voraussetzung  0<x ≤ y folgt durch Multiplikation mit x

(1) 0<x² ≤ xy   , also

(2) x² ≤ xy   .      Nach Addition von xy wird daraus

(3) x²+xy ≤ 2xy    bzw. durch Ausklammern

(4) x(x+y) ≤ 2xy . Wir dividieren durch den positiven Term (x+y) :

(5)  $$x\le \frac{2xy}{x+y}$$ und quadrieren (beide Seiten sind positiv) zu

(5)  $$x²\le( \frac{2xy}{x+y})²$$

q.e.d.