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Beweisen Sie folgende Ungleichung

| arctan x - arctan y| < | x - y |  ∀x,y ∈ ℝ

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Geht einfach mit dem Mittelwertsatz:

Seien x,y ∈ℝ. Dann gibt es bei einer differenzierbaren

Funktion immer ein z∈ [ a,b] mit

(f(x)-f(y)) / ( x-y)  = f ' (z)

Hier also    (arctan x - arctan y ) / ( x - y )  =   1 / (1 +z^2 )

und für z≠0 ist die rechte Seite kleiner als  1

(Der Fall z=0 kommt später.)

Dann gilt also    (arctan x - arctan y ) / ( x - y )  < 1

Nun ist arctan ja streng monoton steigend, also

hat arctan x - arctan y  immer das gleiche Vorzeichen wie x-y,

somit ist der Quotient nie negativ, also folgt

| (arctan x - arctan y ) / ( x - y ) |   < 1

<=> | arctan x - arctan y | /  | x - y  |   < 1  und wegen x≠y ist der Nenner positiv

und man kann die Ungl. damit multiplizieren.

(Das fehlt in den Voraussetzungen, aber für x=y ergäbe

sich ja 0 < 0 , was offenbar falsch ist. Die Vor wurde wohl nur vergessen.)

<=>    | arctan x - arctan y | / <  | x - y  |        .

Bleibt der Fall z=0.   Oder hieß es womöglich ≤ in der

Ungleichung, dann braucht man dazu nichts mehr zu überlegen.


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Vielleicht hilft es weiter, wenn man beide Seiten der Ungleichung als Funktionsterm der Variable x mit den Scharparameter y auffasst:

blob.png

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