Beweisen Sie, dass für beliebige x, a ∈ ℝ mit x ≠ 0 folgende Aussage gilt

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass für beliebige x, a ∈ ℝ mit x ≠ 0 folgende Aussage gilt:

x(x − 2a^2) > 0 ⇔ |x − a^2| > a^2

Ich stehe leider auf dem Schlauch, wie führe ich am besten den Beweis durch?

Answer 1

Quadratische Ergänzung:

\(x(x-2a^2)= x^2-2xa^2> 0 \)

\( \Leftrightarrow (x-a^2)^2-a^4 > 0 \)

\(\Leftrightarrow (x-a^2)^2 > a^4\)

\(\Leftrightarrow |x-a^2| > a^2\)

Answer 2

Hallo

x(x − 2a^2) > 0 folgt x>0 und (x-2a^2)>0 folgt x-a^2>a^2

oder x<0 und x-2a^2<0   folgt x-a^2<a^2  usw

entsprechend zwischen x-a^2>0 und x-a^2<0 unterscheiden

lul

Answer 3

Aloha :)

Hinrichtung "\(\implies\)"

Wir gehen von der linken Seite aus und zeigen die Gültigkeit der rechten Seite.

Wegen \(x\cdot(x-2a^2)>0\) müssen beide Faktoren dasselbe Vorzeichen haben.

1. Fall: Beide Faktoren sind positiv$$x>0\;\land\;x>2a^2\stackrel{(2a^2\ge0)}{\implies} x>2a^2\implies x-a^2>a^2\implies|x-a^2|>a^2$$2. Fall: Beide Faktoren sind negativ$$x<0\;\land\;x<2a^2\stackrel{(0\le2a^2)}{\implies} x<0\implies x-a^2<-a^2\implies-(x-a^2)>a^2$$$$\phantom{x<0\;\land\;x<2a^2}\,\implies|x-a^2|>a^2$$

Rückrichtung "\(\Longleftarrow\)"

Wir gehen von der rechten Seite aus und zeigen die Gültigkeit der linken Seite.

$$|x-a^2|>a^2\implies x-a^2>a^2\;\lor\;x-a^2<-a^2\implies \red{x>2a^2}\;\lor\;\green{x<0}$$

Im roten Fall ist wegen \(2a^2\ge0\) auch \(x>0\), sodass \(x\cdot(x-2a^2)>0\) ist.

Im grünen Fall ist \(x<0\) und damit auch \(x-2a^2<0\), sodass \(x\cdot(x-2a^2)>0\) ist.

Comments

Tschakabumba, ein sehr schöner Beweis.