Zeigen Sie für z ∈ ℂ folgende Ungleichung: |e^z - 1| ≤ e^{|z|} - 1 ≤ |z|*e^{|z|}

Question

Zeigen Sie für z ∈ ℂ folgende Ungleichung:

$$\left| e ^ { z } - 1 \right| \leq e ^ { | z | } - 1 \leq | z | \cdot e ^ { | z | }$$

Answer 1

\(|e^z-1|=|\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n!}|\leq\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|z|^n}{n!}=e^{|z|}-1\)

Sei \(s:=|z|\). Dann müssen wir zeigen: \(e^s-1\leq se^s\).

Wir haben

\(se^s=s\sum_{n=0}^{\infty}\frac{s^n}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{s^n}{(n-1)!}\geq\sum_{n=1}^{\infty}\frac{s^n}{n!}=e^s-1\)