Komplexe Betragsungleichung: M := {z ∈ ℂ : |1-z| ≥ |1+z|} in Gaußscher Zahlenebene einzweichnen.

Question

Die Aufgabe lautet folgendermaßen:

Skizzieren Sie folgende Menge in der Gaußschen Zahleneben:

M := {z ∈ ℂ : |1-z| ≥ |1+z|}

Mein Vorgehen: Ich dachte mir ich versuche die Ungleichung erst einmal zu lösen:

|1-z| ≥ |1+z|

Dann setze ich mal für z = x + yi ein

|1 - (x + yi)| ≥ |1+ (x + yi)| Dann klammer umsetzen, weil 1 zum Realteil gehört

|(1 - x) - yi| ≥ |(1+ x) + yi| Dann  nutze ich das: |z| = (x + y)^(1/2)

(1 - x)² - y² ≥ (1+ x)² + y²  Dann löse ich die binomische Formel auf

1 - 2x + x² -y²  ≥ 1 + 2x + x²  + y² Dann fasse ich zusammen und bring alles auf eine Seite

0 ≥ 4x + 2y² 

Und nun habe ich das Gefühl, dass ich immer noch nicht schlauer bin.

Ist das was ich gemacht habe überhaupt richtig?

Wenn nein, kann mir jemand einen Tipp geben? Wenn ja, wie muss ich jetzt weiter machen?

Bin nur etwas verwirrt, freue mich darauf, wenn mir jemand etwas auf die Sprünge helfen kann.

Answer 1

M := {z ∈ ℂ : |1-z| ≥ |1+z|}

Übersetzen wir das mal in die deutsche Sprache: Die Menge M besteht aus allen komplexen Zahlen z (Vorspann), die von \(1\)  (linke Seite) mindestens (Relation) so weit entfernt sind wie von \(-1\) (rechte Seite). Vielleicht hilft das ja schon weiter!

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Das trifft auf alle Punkte zu, die im Koordinatensystem im 2 und im 3 Qudranten liegen, oder?

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Lici: Einverstanden. imaginäre Achse inklusive.

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Super vielen Dank.

Ich habe da noch eine Menge:

M:= {z ∈ ℂ : |z - i| = √2}

Ich muss zugeben, dass ich ein kleines Problem damit habe, mit Beträge von komplexen Zahlen vorzustellen. Damit zu rechnen ist weniger ein Problem, nur wie soll ich mir diese "imaginären" Anteile vorstellen? Ich finde es momentan noch ziemlich paradox, diese einzuzeichnen.

Hat einer von euch eine Idee, wie ich das in Zukunft besser machen? Jetzt habe ich die erste Menge eingezeichnet mit eurer Hilfe und hänge an der zweiten :(

Vielen Dank für die Hilfe.

PS: Meine Vorüberlegung ist wahrscheinlich auch etwas kurios aber, wenn ich an √2 und an zeichnen denke, dann ist das erste was mir in den Sinn kommt die Hypotenuse eines Dreiecks mit Kathetenlänge 1. Also es ist gut, wenn ich diese Menge M (von oben) auch einzeichnen kann, aber ich würde es gerne so richtig verstehen wollen.

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Betrag einer Differenz zweier Zahlen ist einfach der Abstand der beiden Zahlen.

Das Neue M:= {z ∈ ℂ : |z - i| = √2} ist die Menge aller Punkte der komplexen Zahlenebene, die von i den Abstand √2 haben.

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Hi, auch hier kann eine Übersetzung hilfreich sein:

M:= {z ∈ ℂ : |z - i| = √2} ist die Menge der komplexen Zahlen \(z\), die von (der komplexen Zahl) \(i\) den Abstand \(\sqrt{2}\) haben.

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Also die Eckpunkte eines "Quadrates" um den Punkt (0/1)?

Also p₁= (1/0), p₂= (1/2), p₃= (-1/2) und p₄= (-1/0).

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Nun verbinde diese Punkte noch mit dem Zirkel (einstecken in i). Das sollte dann einen Kreis geben.

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Ja stimmt das ergibt Sinn. Also ein Kreis um den Punkt (0/1) :)

Ihr habt mir wirklich sehr geholfen. Ich werde mir nun im Internet mal einige Mengen raussuchen und es üben.