Komplexe Betragsungleichung |z+2 | < |z+3 |. Lösungsmenge in der Gausschen Zahlenebene einzeichnen

Question

Aufgabe:

die Aufgabe lautet wie folgt : ich soll in der Gaußschen Zahlenebene die Menge aller komplexen  Zahlen zeichnen für die gilt:

|z+2 | <  |z+3 |

Wie berechne ich sowas?

Answer 1

Setze

z=x +iy

Comments

Hmmm und dann?

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|x+iy+2|<|x+iy+3|

|x+2 +iy|<|x+3+iy|

√((x+2)^2 +y^2) <√((x+3)^2 +y^2) |(..)^2

(x+2)^2 +y^2 <(x+3)^2 +y^2 

usw.

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hmmm ich versteh nicht was ich dann mit den y² mache

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y^2 auf beiden Seiten subtrahieren

(x+2)^2< (x+3)^2

x^2 +4x +4 <x^2 +6x +9 |-x^2

4x +4 < 6x +9 |-4

4x < 6x+5

x> -2.5

Answer 2

Wie berechne ich sowas?

Wenn du clever bist, berechnest du gar nichts.

z+2 lässt sich als z-(-2) schreiben.

z+3 lässt sich als z-(-3) schreiben.

|z+2 | <  |z+3 | ist demzufolge das Gleiche wie |z-(-2) | <  |z-(-3) |

und bedeutet "Der Abstand von z zur Zahl -2 ist kleiner als der Abstand von z zur Zahl -3".

Zeichne einfach in der GZE die Gerade x=-2,5 ein.

Auf dieser Geraden liegen alle Punkte, die von -2 genau so weit entfernt sind wie von -3.

Lösung sind alle Punkte, die rechts von dieser Geraden liegen.

Comments

Warum die gerade x=2.5 , wie kommt man darauf

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Nicht 2,5, sondern -2,5.

Geduld. Im nächsten Semester lernt ihr, was in der Mitte zwischen -2 und -3 liegt.

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Und warum ist die Lösung die werte die rechts von der Geraden liegen? Eigentlich müssten es doch die Werte sein die links von der Geraden liegen da ja die Lösung |z+2 | <  |z+3 ist also die werte die kleiner sind

Answer 3

(1) \( \left\{ z \mid \left|z−z_1\right| = \left|z−z_2\right| \right\} \)

ist die Mittelsenkrechte zur Strecke \( [z_1z_2] \). Das hat man zu wissen.

(2)

\( z\bar z = |z|^2 \)

Damit:

$$\begin{aligned} |z+2| &< |z+3| \cr |z+2|^2 &< |z+3|^2 \cr (z+2)(\overline{z+2}) &< (z+3)(\overline{z+3}) \cr (z+2)(\bar z+2) &< (z+3)(\bar z+3) \cr z\bar z+2z+2\bar z+4 &< z\bar z+3z+3\bar z+9 \cr -{5\over 2} &< {z+\bar z \over 2} = Re(z) \cr \end{aligned}$$

$$ L = \left\{ z \mid {z+\bar z \over 2} = Re(z) > -{5\over 2} \right\} $$

Answer 4

|z+2 | <  |z+3 |

Betrag von Differenzen bedeutet Abstand. Daher Beträge als Differenzen schreiben.

|z - (-2) | <  |z - (-3) |             

Jetzt erst mal das Gleich betrachten.

|z - (-2) | =  |z - (-3) |           

z ist von -2 gleich weit entfernt wie von -3. Somit z.B. genau in der Mitte der beiden Zahlen oder allgemeiner auf der Mittelsenkrechten m von z_1 = -2 und z_2 = -3. Konstruiere diese Mittelsenkrechte m.

Nun wieder die Ungleichung

|z - (-2) | <  |z - (-3) |           

Schraffiere die Halbebene, die von m begrenzt wird und in der -2 liegt. Fertig.