Zeigen Sie für beliebige a, b, c, d ∈ K in einem angeordneten Körper K gelten:

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie für beliebige a, b, c, d ∈ K in einem angeordneten Körper K gelten:

|a-b| * |c-d| kleiner gleich |a-c| * |b-d| + |a-d| * |b-c|

Problem/Ansatz:

In der Uni haben wir solche Beweise über Fallunterscheidungen gemacht. Also hatte ich die Idee die Fälle a<b<c<d eben für alle Fälle anzuordnen, aber das sind viel zu viele Fälle für eine einfache Teilaufgabe.

Gibt es noch eine andere Möglichkeit?

Comments

Die Frage gab es schon:

https://www.mathelounge.de/1045299/ungleichung-beweisen-angeordneter-korper

Aber da gibt es auch keine sehr konkreten Tipps.

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Aber da gibt es auch keine sehr konkreten Tipps.

Den Wert des Tipps (Tipp: Ausmultiplizieren) kann man doch erst erkennen, wenn man ihn ausführt??

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Danke @Mathhilf,

ausmulziplizieren kann ich es, dann erhalte ich als Ergebnis:

|ac-ad-bc+bd| kleiner gleich |ab-ad-bc+cd| + |ab-ac-bd+cd|

Aber dabei kommt es doch jetzt immer noch darauf an, in welchem Bezug die Variablen zueinander stehen oder gibt es irgendwas, das ich nicht sehe?

Answer 1

Jetzt hat man links einen Absolutbetrag und rechts zwei. Das erinnert an die Dreiecksungleichung mit Einschieben einer künstlichen 0

$$|ac+bd-(ad+bc)+(ab+dc)-(ab+cd)| \leq |ab+cd-(ad+bc)|+|ac+bd-(ab+cd)|\\\quad=|ab+cd-(ad+bc)|+|ab+cd-(ac+bd)||$$

Comments

Jetzt hab ich‘s danke!!