Geht einfach mit dem Mittelwertsatz:
Seien x,y ∈ℝ. Dann gibt es bei einer differenzierbaren
Funktion immer ein z∈ [ a,b] mit
(f(x)-f(y)) / ( x-y) = f ' (z)
Hier also (arctan x - arctan y ) / ( x - y ) = 1 / (1 +z^2 )
und für z≠0 ist die rechte Seite kleiner als 1
(Der Fall z=0 kommt später.)
Dann gilt also (arctan x - arctan y ) / ( x - y ) < 1
Nun ist arctan ja streng monoton steigend, also
hat arctan x - arctan y immer das gleiche Vorzeichen wie x-y,
somit ist der Quotient nie negativ, also folgt
| (arctan x - arctan y ) / ( x - y ) | < 1
<=> | arctan x - arctan y | / | x - y | < 1 und wegen x≠y ist der Nenner positiv
und man kann die Ungl. damit multiplizieren.
(Das fehlt in den Voraussetzungen, aber für x=y ergäbe
sich ja 0 < 0 , was offenbar falsch ist. Die Vor wurde wohl nur vergessen.)
<=> | arctan x - arctan y | / < | x - y | .
Bleibt der Fall z=0. Oder hieß es womöglich ≤ in der
Ungleichung, dann braucht man dazu nichts mehr zu überlegen.
