Warum gibt es bei 0=0 immer unendlich viele Lösungen?

Question

0=0

Warum gibt es bei 0=0 immer unendlich viele Lösungen. Das habe ich bei einem LGS als Lösungsmenge bekommen.

Wie kann ich mir diese 0=0 vorstellen? Gibt es da einen vergleich, um dies zu verdeutlichen?

Answer 1

Aloha :)

Für eine eindeutige Lösung eins linearen Gleichungssystems benötigst du so viele Gleichungen wie du Variablen hast. Wenn du nun beim Gauß-Verfahren eine Gleichung der Form \(0=0\) erhältst, fällt eine Gleichung (die immer wahr ist) weg. Das bedeutet aber, dass du eine von deinen Variablen frei wählen kannst. Alle anderen Variablen sind dann aber durch die Gleichungen festgelegt. Diese frei wählbare Variable sorgt dafür, dass du unendlich viele Lösungen hast, die auf einer Geraden liegen.

Wenn du zwei Gleichungen der Form \(0=0\) erhältst, fallen 2 Gleichungen weg und du kannst 2 Variablen frei wählen. Alle anderen sind dann als Lösungen von den verbliebenen Gleichungen vorgegeben. Du hast nun auch wieder unendlich viele Lösungen, die nun aber in einem 2-dimensionalen Raum, also in einer Ebene liegen.

Es kann übrigens auch sein, dass du eine Gleichung der Form \(0=\text{const}\) heraus bekommst, wo die Konstante ungleich \(0\) ist. Dann hast du eine Gleichung, die immer falsch ist. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung.

Answer 2

Stell dir zwei Geraden im zwedimensionalen Koordinatensystem vor. Um ihre gemeinsamen Punkte zu finden, setzt du die Terme gleich.

Sie können

- parallel sein (keine Lösung)

- sich schneiden (eine Lösung)

- identisch sein (unendlich viele Lösungen)

Wenn sie identisch sind, hast du auf beiden Seiten der Gleichung denselben Term. Wenn du den Term subtrahierst, bleibt 0=0 übrig. Eine Gleichung, die für jeden x-Werte stimmt.

:-)