Gibt es eine 2x2-Matrix mit einem Vektor b, so dass x1, x2, x3 Lösungen von Ax=b sind?

Question

Aufgabe: Es soll eine 2x2-Matrix A und einen Vektor b\in\R^{ 2 } geben, dass x_{ 1 }=(1,2), x_{ 2 }=(2,-1) und x_{ 3 }=(-3,-4)  die Lösungen von Ax=b sind.

Man soll zuerst entscheiden, ob man denkt, dass es eine solche Matrix gibt oder nicht. Basierend auf die Entscheidung, muss man Beweisen.

Problem/Ansatz:

Mein Hauptproblem ist es, wie eine 2x2 Matrix drei Variablen haben kann. Vielleicht verstehe ich diesen Teil der Aufgabe falsch oder es ist tatsächlich nicht möglich. Eine Idee, die in Gruppe als Lösung betrachtet wurde, wäre die Nullmatrix mit dem Nullvektor, aber ich kann mir nicht vorstellen, wie das möglich wäre.

Grundsätzlich weiß ich nicht, wie man ein Beispiel bzw. Gegenbeispiel für diese Aufgabe finden soll. Gibt es Ideen?

Answer 1

die Lösungen von Ax=b

Eine Lösung ist eine Belegung der Variablen mit Werten, so dass eine wahre Aussage entsteht.

eine 2x2-Matrix A und einen Vektor b∈ℝ²

Dann muss das x in der Gleichung Ax=b ebenfalls aus ℝ² sein.

x₁ = (1,2)

Dann ist x₁ ein Element von ℝ², kann also durchaus eine Lösung der Gleichung Ax = b sein.

Eine Idee, die in Gruppe als Lösung betrachtet wurde, wäre die Nullmatrix mit dem Nullvektor,

Eine gute Idee. Diese Gleichung hätte dann aber noch unendlich viele weitere Lösungen.

Ich vermute, es ist A und b gesucht, so dass die genannten Lösungen die einzigen sind. Dann gibt es solche A und b nicht, weil eine solche Gleichung über ℝ entweder keine oder eine oder unendlich viele Lösungen hat.

Comments

Tut mir Leid, da ist mir ein Schreibfehler unterlaufen: es heißt nur Lösungen von Ax=b und nicht "die Lösungen", also sind sie nicht die einzigen Lösungen. Dementsprechend sind unendlich viele Lösungen möglich und die drei Gegebenen ein Teil der Lösungsmenge.

Deshalb stimmt auch die Vermutung, dass eine Nullzeile geben müsste, aber wie hängt, dass mit der Nullmatrix zusammen bzw. gibt auch eine andere Matrix, die das noch erfüllt?

Answer 2

Mein Hauptproblem ist es, wie eine 2x2 Matrix drei Variablen haben kann.

Die Matrix hat 4 zu besetzende Stellen, damit könntest du erst mal sogar 4 Variablen unterbringen.

Ist die Aufgabe korrekt abgeschrieben? Heißt es wirklich

dass x 1 =(1,2), x 2 =(2,-1) und x 3 =(-3,-4)  die Lösungen von Ax=b sind.

oder heißt es nur

dass x 1 =(1,2), x 2 =(2,-1) und x 3 =(-3,-4)  Lösungen von Ax=b sind.

?

Letzteres ist möglich.

Comments

Es ist tatsächlich, dass Letztere. Tut mir Leid, dass ich es falsch abgeschrieben habe.

Answer 3

Aloha :)

Ein lineares Gleichungssystem hat entweder keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen. Wenn also die 3 Punkte Lösungen des LGS sein sollen, müssen sie Teil von unendlich vielen Lösungen sein. In 2 Dimensionen liegen die unendlich vielen Lösungen auf einer Geraden. Du musst also prüfen, ob die 3 Punkte auf einer Geraden liegen:

Wir bestimmen die Geradengleichung aus den ersten beiden Punkten und prüfen, ob der dritte Punkt auch auf dieser Geraden liegt:$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-1-2}{2-1}=-3\quad;\quad b=y-mx=2-(-3)\cdot1=5$$

Die Gerade lautet also:$$y(x)=-3x+5$$und siehe da, der dritte Punkt \((-3;-4)\) liegt ebenfalls auf der Geraden. Damit hast du schon mal gezeigt, dass es eine solche Matrix gibt.

Um eine solche Matrix nun konkret anzugeben, stell die Geradengleichung wie folgt um und pack eine Nullzeile dazu:$$3\cdot x+1\cdot y=5$$$$0\cdot x+0\cdot y=0$$Nun schreibe dieses Gleichungssystem in Matrix-Schreibweise auf:$$\begin{pmatrix}3 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}\cdot\vec x=\binom{5}{0}$$

Comments

Das hört sich sehr plausibel an :)

Aber sind x 1 =(1,2), x 2 =(2,-1) und x 3 =(-3,-4) wirklich einzelne Punkte? Weil ich kenne dann eine solche Schreibweise nicht oder hab sie nirgendwo auf eine solche Weise gesehen.

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Die Lösungen der Gleichung sind als sogenannte 2-Tupel \((x;y)\) angegeben. Das kann man machen, weil es sich bei der Matrix ja im Prinzip um eine Abbildung vom \(\mathbb R^2\) in den \(\mathbb R^2\) handelt, also von einer Ebene in diese Ebene. Die Lösungen sind hier als Punkte innerhalb dieser Ebene angegeben.

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Mit der Nullmatrix und dem Nullvektor dies zu beweisen wäre doch leichter?