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Frage: Gegeben sei die folgende Matrix A:

\( \begin{pmatrix} 4 & 3 & 4\\ 2 & 1 & 7 \\ 3 & 1 & 8\end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} x1\\x2\\x3 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 5\\14\\16 \end{pmatrix} \)

Für jede Primzahl Fp = ℤ/pℤ gibt es eine Lösung in x1 , x2 , x3.


Bestimmen Sie für jedes P die Anzahl seine Lösungen in x1,x2,x3 ∈ Fdes Gleichungssytems.

Frage: Was sollen wir eigentlich tun, wie sollen wir anfangen? und was bedeutet Fp = ℤ/pℤ?


Vielen Dank im Voraus.

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\(\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}\setminus p\mathbb{Z}\) ist genau dann ein Körper, wenn \(p\) prim ist. Recherchiere mal "Restklasse modulo n"

Mit \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) beschreiben wir den Restklassenring Modulo einer positiven Zahl \(n\).

2 Antworten

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Hallo,

Die Determinante der Matrix ist det A = 15.

Für alle Primzahlen p UNGLEICH den Primteilern der Determinante (in diesem Fall sind die Primteiler p=3, p=5) hat das LGS für p eine EINDEUTIGE Lösung.

Bei den Primteilern, musst du einfach das Gleichungssystem über F_p versuchen zu lösen und prüfen, falls es lösbar ist, wie viele Lösungen es hat (eine, unendlich viele, ...).

Ich hoffe ich konnte helfen,

Test1234567890

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Leider es ist noch unklar. "Bei den Primteilern, musst du einfach das Gleichungssystem über F_p versuchen zu lösen", was bedeutet das eigentlich?

btw, Danke

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Die Aufgabenstellung ist nicht ganz schlüssig, für alle p ?

Z.B. p=3

\(\small A1 \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&1&2\\2&1&1&2\\0&1&2&1\\\end{array}\right) ≡ A (mod\ 3)\)

Gauss

\(\small A2 \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&1&2\\0&1&2&1\\0&1&2&1\\\end{array}\right) \)

===>

\(\small L \, :=  \, \left(\begin{array}{r}-r + 2\\-2 \; r + 1\\r\\\end{array}\right)  =  \, \left\{\begin{array}{rrr}2&1&0\\1&2&0\\0&1&2\\\end{array}\right\}\)

p=5

\(\small A1 \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}4&3&4&0\\2&1&2&4\\3&1&3&1\\\end{array}\right) ≡ A (mod\ 5)\)

Gauss

\(\small A2 \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}4&3&4&0\\0&3&0&1\\0&0&0&4\\\end{array}\right)\)

===>

L={}

Avatar von 21 k

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