Bestimmen Sie für jedes P die Anzahl seine Lösungen in x1,x2,x3 ∈ F3 des Gleichungssytems.

Question

Frage: Gegeben sei die folgende Matrix A:

\( \begin{pmatrix} 4 & 3 & 4\\ 2 & 1 & 7 \\ 3 & 1 & 8\end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} x1\\x2\\x3 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 5\\14\\16 \end{pmatrix} \)

Für jede Primzahl Fp = ℤ/pℤ gibt es eine Lösung in x₁ , x₂ , x₃.

Bestimmen Sie für jedes P die Anzahl seine Lösungen in x₁,x₂,x₃ ∈ F³  des Gleichungssytems.

Frage: Was sollen wir eigentlich tun, wie sollen wir anfangen? und was bedeutet Fp = ℤ/pℤ?

Vielen Dank im Voraus.

Comments

\(\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}\setminus p\mathbb{Z}\) ist genau dann ein Körper, wenn \(p\) prim ist. Recherchiere mal "Restklasse modulo n"

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Mit \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) beschreiben wir den Restklassenring Modulo einer positiven Zahl \(n\).

Answer 1

Hallo,

Die Determinante der Matrix ist det A = 15.

Für alle Primzahlen p UNGLEICH den Primteilern der Determinante (in diesem Fall sind die Primteiler p=3, p=5) hat das LGS für p eine EINDEUTIGE Lösung.

Bei den Primteilern, musst du einfach das Gleichungssystem über F_p versuchen zu lösen und prüfen, falls es lösbar ist, wie viele Lösungen es hat (eine, unendlich viele, ...).

Ich hoffe ich konnte helfen,

Test1234567890

Comments

Leider es ist noch unklar. "Bei den Primteilern, musst du einfach das Gleichungssystem über F_p versuchen zu lösen", was bedeutet das eigentlich?

btw, Danke

Answer 2

Die Aufgabenstellung ist nicht ganz schlüssig, für alle p ?

Z.B. p=3

\(\small A1 \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&1&2\\2&1&1&2\\0&1&2&1\\\end{array}\right) ≡ A (mod\ 3)\)

Gauss

\(\small A2 \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&1&2\\0&1&2&1\\0&1&2&1\\\end{array}\right) \)

===>

\(\small L \, :=  \, \left(\begin{array}{r}-r + 2\\-2 \; r + 1\\r\\\end{array}\right)  =  \, \left\{\begin{array}{rrr}2&1&0\\1&2&0\\0&1&2\\\end{array}\right\}\)

p=5

\(\small A1 \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}4&3&4&0\\2&1&2&4\\3&1&3&1\\\end{array}\right) ≡ A (mod\ 5)\)

Gauss

\(\small A2 \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}4&3&4&0\\0&3&0&1\\0&0&0&4\\\end{array}\right)\)

===>

L={}