Für die Monotonie berechne mal erst
bn+1-bn Da hast du den letzten Summanden von bn
und dahinter 2 Summen, die jeweils von 1 bis n gehen
= 1/2 + \( \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{n+1+k}} \) - \( \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{n+k}} \)
kannst du zu einer Summe machen
= 1/2 + \( \sum\limits_{k=1}^{n}({\frac{1}{n+1+k}} -{\frac{1}{n+k}}) \)
Das ist jetzt ne Teleskopsumme und es bleibt nur
= 1/2 + 1/ (2n+1) - 1/(n+1)
= (2n^2 + n +1 ) / ( 2*(2n+1)(n+1))
und das ist immer positiv, also
Folge streng monoton steigend.
Und für die Summanden gilt doch
Der Nenner liegt immer zwischen n und 2n , also gilt
1/n ≥ 1 / (n+k) ≥ 1/(2n)
und weil es n Summanden sind, liegt der Summenwert
zwischen n*1/n = 1 und n*1/(2n) = 1/2
Also sind 1 und 1/2 obere bzw. untere Schranken.
