Man untersuche, ob die Folge (an) mit an= (1-n)/n beschränkt und/oder monoton ist

Question

Man untersuche ob die Folge (an)^∞_n=1  (i) beschränkt (ii) monoton ist:

a, an= a/(3n+2)

b, an= (1-n)/n

EDIT: Klammern ergänzt.

Comments

EDIT: Setze noch die nötigen Klammern. Du hast noch Bearbeitungszeit.

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Soory, dass sind die richtigen aufgaben: e, und c

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c im Bild kann ich erkennen.

Bei der anderen Folge habe ich einfach mal Klammern gesetzt, sehe die Folge aber nicht im Bild.

Answer 1

$$a_n=\frac{1-n}{n}=\frac{1}{n}-1$$

Wir haben dass $$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}=0$$

Also haben wir dass $$\frac{1}{n}-1\geq 0-1=-1$$

Wir haben noch dass $$\frac{1}{n}\geq 1$$

Also haben wir dass $$\frac{1}{n}-1\leq 1-1=0$$

Die Folge ist also beschränkt, da $$-1\leq \frac{1-n}{n}\leq 0$$

Wir berechnen dass a_n+1 :

$$a_{n+1}=\frac{1-(n+1)}{n+1}=\frac{1-n-1}{n+1}=\frac{-n}{n+1}$$

Dann berechnen wir die Differenz a_n+1 - a_n :

$$a_{n+1}-a_n=\frac{-n}{n+1}-\frac{1-n}{n}=\frac{-n^2-(1-n)}{n(n+1)}=\frac{-n^2+n-1}{n(n+1)}$$

Prüfe ob der Zähler positiv oder negativ ist für n≥0.

Wenn der Zähler positiv ist, dann haben wir dass a_n+1 ≥ a_n .

Wenn der Zähler negativ ist, dann haben wir dass a_n+1 ≤ a_n .