Wie berechnet man die Folge ob beschränkt ost oder nicht?

Question

Text erkannt:

Ob die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}(i) \) beschicänkt, (ii) monoton ist.
\( a_{n}=\frac{n}{1-3 n} \)

Aufgabe:

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten zuerst die Monotonie:$$a_{n+1}-a_n=\frac{n+1}{1-3(n+1)}-\frac{n}{1-3n}=\frac{n+1}{-3n-2}-\frac{n}{1-3n}=\frac{n+1}{-(3n+2)}-\frac{n}{-(3n-1)}$$$$\phantom{a_{n+1}-a_n}=\frac{-(n+1)}{(3n+2)}+\frac{n}{(3n-1)}=\frac{-(n+1)(3n-1)+n(3n+2)}{(3n+2)(3n-1)}$$$$\phantom{a_{n+1}-a_n}=\frac{-(3n^2+3n-n-1)+3n^2+2n}{(3n+2)(3n-1)}=\frac{1}{(3n+2)(3n-1)}>0$$Daher ist \(a_{n+1}>a_n\) und die Folge wächst streng monoton.

Wegen dieser Monotonie gilt für alle Folgenglieder \(a_n\ge a_1\). Das heißt, die Folge \((a_n)\) ist nach unten beschränkt.

Wenn wir in einem postivem Bruch den Nenner vergrößern, wird der Bruch kleiner.$$\frac{n}{3n-1}>\frac{n}{3n}=\frac13\quad\implies\quad\frac{n}{1-3n}<-\frac13\quad\implies\quad a_n<-\frac13$$Die Folge \((a_n)\) ist also auch nach oben beschränkt.

Answer 2

Hallo

1, schreib dir die ersten paar Glieder auf um zu sehen ob das wahrscheinlich monoton ist, das 1. Glied ist das größte  also dadurch nach oben beschränkt, dividier Z un N durch n dann siehst du die Schranke nach unten (gegen die die Folge konvergiert.

Gruß lul

Answer 3

Um besser vermuten zu können, ob hier die Folge beschränkt/monoton ist, würde ich erstmal in die Folge immer größere Werte einsetzen:

a(1) = 1/-2=-0,5 a(2)= 2/-5=-0,4 a(10)=10/-29=-0.3448... a(100)=100/-299=-0,3344...

Also sieht es aus, als hätte die Folge den Grenzwert -1/3, also -0.33.., was daraus folgt, dass die Folge beschränkt ist. Und je größer man den n-Wert in die Folge einsetzt, desto größer wird die, also kann man vermuten, dass die Folge (streng) monoton wächst.

Kommen wir zur Beschränktheit:

n/(1-3n)

= 1/(1/n-3) (n weggekürzt)

für n nach unendlich gilt: 1/(0-3)=1/-3=-1/3=-0,33... , stimmt also mit dem Grenzwert überein. Die Folge wäre hiermit beschränkt.

Nun zur Monotonie:

rechne a(n+1)-a(n) und zeige, dass das größer als 0 ist, da wir vermuten, dass die Folge monoton steigt.

Ich habe raus:

1/(-2-9n+9n^2) und das wäre für n größer gleich 2 größer als 0, somit wäre die Folge streng monoton steigend.

Keine Gewähr.

Answer 4

Anwendung von Limes-Sätzen:

\(\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=\lim \frac{n}{1-3n}=\lim \frac{1}{(\frac{1-3n}{n})}=\)

\(=\frac{1}{\lim (\frac{1}{n}-3)}=\frac {1}{\lim \frac {1}{n}-3}=\frac{1}{0-3}=-\frac{1}{3}\).

Da die Folge konvergiert, ist sie natürlich auch a posteriori beschränkt.

Da \(\frac{1}{n}-3\) monoton fällt, wächst \(a_n\) monoton.