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Aufgabe

Prüfen Sie, ob die nachstehenden Folgen beschränkt oder monoton oder konvergent

oder unbeschränkt wachsend bzw. fallend sind:

a1=1 ,  an+1=√( 2+an)

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Hi,

die Folge ist streng monoton wachsend und beschränkt. Beweis durch Induktion.

Beschränktheit

$$ a_{n+1} = \sqrt{2+a_n} \le 2  $$ falls \( a_n \le 2 \)

Monotonie

$$ a_{n+2} = \sqrt{2+a_{n+1}} >\sqrt{2+a_{n}} = a_{n+1}  $$ falls \( a_{n+1} > a_n \) gilt

Der Grenzwert ist dann 2 als Lösung der Gleichung

$$ a = \sqrt{2+a}  $$

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