Rekursive Folgen auf Monotonie und Beschränktheit prüfen für q.

Question

Aufgabe - Rekursive Folge, Monotonie und Beschränktheit

Sei \( q \in \mathbb{R} \). Gegeben sei die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \), die rekursiv durch \( a_{1}:=2 \) und \( a_{n+1}:=q a_{n}+3 \) für \( n \in \mathbb{N} \) definiert ist.

(a) Geben Sie \( a_{n} \) durch einen Ausdruck an, der nicht mehr rekursiv von anderen Folgengliedern abhängt.

(b) Für welche \( q \in \mathbb{R} \) ist die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) monoton?

(c) Für welche \( q \in \mathbb{R} \) ist die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) beschränkt?

(d) Bestimmen Sie die Häufungspunkte der Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) für \( q \in\{-1,-1 / 2,1\} \).

Answer 1

rechne dir doch einfach mal einpaar aus
a1=2
a2=2q+3
a3=q*(2q+3) + 3 = 2q^2 + 3q + 3
a4=q*( 2q^2 + 3q + 3) + 3  = 2q^3 + 3q^2 + 3q + 3
dann ahnt man doch schon, dass es bei n=10 heißen muss
a10=2q^9 + 3q^8 + 3q^7 + 3q^6 + .... + 3q + 3
also allgemein$${ a }_{ n }={ 2q }^{ n-1 }+\sum _{ i=0 }^{ n-2 }{ { 3q }^{ i } } $$
und für n=1 stimmt das auch, weil q^0 = 1 und eine Summe, bei der die
obere Grenze kleiner als die untere ist, den Wert 0 hat.

Comments

könnten sie mir eventuell noch sagen für welche q die folge monot ist und für welche q die folge beschränkt ist ??

währe sehr nett

danke :)

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54b) bei a) hast du wohl   a_n = 1 / 2n

Damit    |a_n| < ε  gilt muss also   1 / 2n < ε sein  (Betrag spielt keine Rolle, da alles positiv.

also 1 < 2n ε   also   1 / 2 ε  <  n  

Also: wenn n >   1 / 2 ε    dann ist   |a_n| < ε    also gilt dann | an - 0 |  < ε 

und das ist die Grenzwertdef. für den Grenzwert 0.

Answer 2

(a) Schreibe die ersten 4 Folgegelieder auf. Du erkennst dann die Summe aus einem Term und einer geometrischen Reihe. Damit kannst du die Folgeglieder direkt hinschreiben.

an = 2·q^{n - 1} + 3·(q^{n - 1} - 1)/(q - 1)

Jetzt dürfte es auch einfacher sein diese Folge auf Monotonie und Beschränktheit zu untersuchen.