Re(a+j*b) = a und <z,w> =...?

Question

Aufgabe:

a) $$a = \Re(a+jb)$$ für alle $$a,b \in \mathbb{C}$$
b) $$<z,w> = \frac{1}{2}\cdot (|z+w|^2 - |z|^2 - |w|^2)$$ für alle $$z,w \in \mathbb{C}$$

Problem/Ansatz:

Zu a) Ich würde hier sagen das die Aussage wahr ist, da ja der Realteil von a+j*b doch nur a ist oder?

Zu b) wüsste ich nicht ob das Sakalarprodukt von z und w wahr oder falsch ist.

Hoffe das ihr mir dabei helfen könnt.

VG :)

Comments

Zu a)  Wähle a=0 und b=j.

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Hallo Spacko,
Bei diesen Aufgaben geht es mir darum, ob die Aussagen wahr oder falsch sind.

Bei a) bin ich bereits darauf gekommen das die Aussage falsch sein muss, da a und b in der Komplexen Menge enthalten sind. Da aber a+j*b eine komplexe Zahl darstellen soll, können a und b aber nur rein reell sein und somit  kann der Realteil von a+j*b nicht a sein.

VG :)

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Warum müssen a und b rein reell sein? In meinem Beispiel ist ℜ(a+j·b) = -1 ≠ a.

Zu 2)  |z+w|² = ⟨z+w,z+w⟩ = ⟨z,z⟩ + ⟨z,w⟩ + ⟨w,z⟩ + ⟨w,w⟩ = |z|² + 2⟨z,w⟩ + |w|².

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Wenn a und b aus dem komplexen Raum sind, dann kann doch der Realteil von a+j*b niemals a sein, denn Bsp: $$a = {a}_{1} + j\cdot {b}_{1}$$ $$b = {a}_{2}+j\cdot {b}_{2}$$

Dann würde gelten:
$$Re(a+j\cdot b) = Re(({a}_{1} + j\cdot {b}_{1}) + j({a}_{2}+j\cdot {b}_{2}))$$

$$Re({a}_{1}-{b}_{2} + j({b}_{1}+{a}_{2}))$$

Und dann wäre der Realteil nicht $$a$$ sondern $${a}_{1} - {b}_{2}$$

VG :)

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Die Aufgabe 2 habe ich bereits ebenfalls gelöst.

Falls jemand auch vor der Aufgabe steht, hier mein Lösungsweg.

Es gilt zu zeigen, dass mit $$z = {a}_{1} + j\cdot {b}_{1}$$ und $$w = {a}_{2} + j\cdot {b}_{2}$$ für

$$<z,w> = \frac{1}{2} \cdot (|z+w|^2 - |z|^2 - |w|^2)$$

gilt:

Zu zeigen ist das die linke Seite

$$<z,w> = {a}_{1}\cdot {a}_{2} + {b}_{1}\cdot {b}_{2}$$

gleich der rechten Seite gilt:

Schritt 1: $$|z+w|^2$$

$$|z+w|^2 = |({a}_{1} + j\cdot {b}_{2})+({a}_{2}+ j\cdot {b}_{2})|^2$$

$$|({a}_{1}+{a}_{2})+j\cdot ({b}_{1} + {b}_{2})|^2$$

$$({a}_{1}+{a}_{2})^2+({b}_{1}+{b}_{2})^2$$

Schritt 2: $$|z|^2$$
$$|z|^2 = {a}_{1}^2+{b}_{1}^2$$

Schritt 3: $$|w|^2$$

$$|w|^2 = {a}_{2}^2+{b}_{2}^2$$

Schritt 4: linke Seite 

$$<z,w> = {a}_{1}\cdot {a}_{2}+ {b}_{1}\cdot {b}_{2}$$

$$\frac{\not{2}\cdot {a}_{1}\cdot {a}_{2} + \not{2}\cdot {b}_{1}\cdot {b}_{2}}{\not{2}}$$

VG :)