Eigenwerte bestimmen / lineare Unabhängigkeit

Question

Aufgabe:

Erinnerung: Zwei Vektoren v1 und v2 werden linear unabhängig genannt, wenn aus λ1v1+λ2v2=0 stets λ1=λ2=0 folgt, d.h. wenn der Vektor 0=(0,…,0)eindeutig als Linearkombination λ1v1+λ2v2  von v1 und v2 geschrieben werden kann.

Berechnen Sie zwei linear unabhängige Eigenvektoren v1,v2 der Matrix M=[−8,-24/3,10](2x2 Matrix). Sei S die Matrix (v1v2), deren Spalten durch die Vektoren v1und v2 gegeben sind und S−1 die Matrix mit S^−1*S=[1,0/0,1](2x2Matrize)

Berechnen Sie S^-1*MS=?????gesucht ist eine 2x2 Matrix

Bitte beachten Sie, dass nicht jede 2×2Matrix zwei linear unabhängige Eigenvektoren besitzt. Es gilt: Eine 2×2Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie zwei linear unabhängige Eigenvektoren v1, v2 besitzt.

Finden Sie eine 2×2 Matrix mit reellen Einträgen, die nicht diagonalisierbar ist :

??????Gesucht ist eine 2x2 Matrix

Ich bitte um Hilfe bei der Aufgabe.

Danke

Answer 1

       

\(M=  \begin{pmatrix} -8&-24\\ 3&10\end{pmatrix}   \)

Die Eigenwerte ergeben sich aus

\( det\begin{pmatrix} -8-λ&-24\\ 3&10-λ\end{pmatrix} = (-8-λ)·(10-λ)- 3·(-24)\)

                                              \(=\color{green}{λ^2 - 2·λ - 8 = 0}\)

pq-Formel →  λ₁  = 4  und  λ₂  = -2:

Zugehörige Eigenvektoren \(\begin{pmatrix} u\\ v\end{pmatrix}\) findet man aus

\(\begin{pmatrix} -8-λ&-24\\ 3&10-λ\end{pmatrix}· \begin{pmatrix} u\\ v\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\end{pmatrix}\)

Für den Eigenwert λ₁ = 4:

\(\begin{pmatrix} -12&-24\\ 3&6\end{pmatrix}· \begin{pmatrix} u\\ v\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\end{pmatrix}\)

Die einfachste Lösung ist  \(\begin{pmatrix} u\\ v\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\ -1\end{pmatrix}\) , alle anderen sind Vielfache davon.

Für den Eigenwert λ₂ = -2

\(\begin{pmatrix} -6&-24\\ 3&12\end{pmatrix}· \begin{pmatrix} u\\ v\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\end{pmatrix}\)

Die einfachste Lösung ist  \(\begin{pmatrix} u\\ v\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\ -1\end{pmatrix}\), alle anderen sind Vielfache davon.

Damit hat man  \(S = \begin{pmatrix} 2&4\\ -1&-1\end{pmatrix} \text{  }und\text{  }  \text{  } \text{  } S^{-1}=\begin{pmatrix} -1/2&-2\\ 1/2&1\end{pmatrix} \)

                          \( \color{green}{A^{-1}} = \begin{pmatrix} a&b\\ c&d\end{pmatrix}^{-1}= \frac{1}{det(A)} · \begin{pmatrix} d&-b\\ -c&a\end{pmatrix} =  \frac{1}{ad-cb } · \begin{pmatrix} d&-b\\ -c&a\end{pmatrix} \)

mit   \(S^{-1} · M · S = \begin{pmatrix} 4&0\\ 0&-2\end{pmatrix}    (Diagonalmatrix) \)

---------

Die Matrix    \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&1\end{pmatrix}  hat z.B. die Eigenwerte  λ₁ = 2  und λ₂ = 0

Der Eigenraum zu  λ₂ = 0  ist der Nullraum mit der Dimension 0  (= geometrische Vielfachheit). Da diese nicht mit der algebraischen Vielfachheit 1 übereinstmmt, ist die Matrix nicht diagonalisierbar.

Gruß Wolfgang